Mostrar que os limites seguintes não existem:
Passo 1
Estamos com o limite de uma função de duas variáveis
. Esse conteúdo é sobre limites multivariáveis e vamos precisar verificar a existência do limite testando diferentes trajetórias de aproximação até a origem.
Passo 2
Na teoria de limites multivariáveis, para o limite existir, o valor tem que ser o mesmo independente do caminho de aproximação. Então, uma estratégia clássica é aproximar
pela reta
, onde
é um parâmetro que representa a inclinação.
Substituindo na expressão, temos
Substituindo
Passo 3
Percebe que a expressão
depende de
. Por exemplo, se
(reta
), o limite vale
, enquanto se
(reta
), o limite vale
Passo 4
Como obtivemos valores diferentes para diferentes
, o valor do limite varia conforme o caminho de chegada à origem e, portanto, não há um único limite.
Observação: a existência de limites em várias variáveis exige independência do caminho escolhido; aqui essa condição falha.
Observação: a existência de limites em várias variáveis exige independência do caminho escolhido; aqui essa condição falha.
Resposta
O limite não existe.