Mostrar que os limites seguintes não existem:
lim substackx 0 y 0 3 x y4 x^2+5 y^2

Passo 1

Estamos com o limite de uma função de duas variáveis lim(x,y)to(0,0) 3xy4x^2+5y^2. Esse conteúdo é sobre limites multivariáveis e vamos precisar verificar a existência do limite testando diferentes trajetórias de aproximação até a origem.

Passo 2

Na teoria de limites multivariáveis, para o limite existir, o valor tem que ser o mesmo independente do caminho de aproximação. Então, uma estratégia clássica é aproximar (x,y) pela reta y=mx, onde m é um parâmetro que representa a inclinação.
Substituindo y=mx na expressão, temos
3x(mx)4x^2+5(mx)^2 = 3m x^24x^2 + 5m^2 x^2 = 3m4 + 5m^2

Passo 3

Percebe que a expressão 3m4+5m^2 depende de m. Por exemplo, se m=0 (reta y=0), o limite vale 0, enquanto se m=1 (reta y=x), o limite vale
3cdot14+5cdot1^2=39=13

Passo 4

Como obtivemos valores diferentes para diferentes m, o valor do limite varia conforme o caminho de chegada à origem e, portanto, não há um único limite.
Observação: a existência de limites em várias variáveis exige independência do caminho escolhido; aqui essa condição falha.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados