Calcule as integrais duplas abaixo.
integral0^2 integralx^2 x e^x+y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral0^2 integralx^2x e^x+y , dy , dx. O conteúdo é integração iterada de função exponencial; vamos usar as propriedades das integrais de e^u para resolver passo a passo.

Passo 2

Começamos integrando em relação a y, tratando x como constante:
integralx^2x e^x+y , dy = e^x integralx^2x e^y , dy = e^x l[e^yr]y=x^y=2x = e^xl(e^2x-e^xr) = e^3x-e^2x

Passo 3

Substituímos esse resultado na integral em x:
integral0^2l(e^3x-e^2xr),dx
As primitivas são
integral e^3xdx=tfrac13e^3x, integral e^2xdx=tfrac12e^2x
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integral0^2(e^3x-e^2x),dx=l[tfrac13e^3x-tfrac12e^2xr]0^2

Passo 4

Aplicamos os limites 0 e 2 e simplificamos:
l(tfrac13e^6-tfrac12e^4r)-l(tfrac13e^0-tfrac12e^0r)=tfrace^63-tfrace^42-l(tfrac13-tfrac12r)=2e^6-3e^4+16,

Passo 5

Portanto o valor da integral dupla é 2e^6-3e^4+16.

Resposta

\displaystyle \frac{2e{6}-3e{4}+1}{6}

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