(Questão aberta) Verifique se a equação d yd t=t y^2 é separável e, em caso afirmativo, resolva-a.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação dydt = t,y^2 é separável e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Esse é um problema de Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem e vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Uma EDO é separável quando conseguimos escrever o lado que envolve y só em função de y multiplicado pelo lado que envolve t só em função de t. Aqui temos dydt = t,y^2, que podemos rearranjar como produto de uma função só de y e outra só de t. Isolando variáveis, dividimos ambos os lados por y^2 e multiplicamos por dt, obtendo
1y^2,dy = t,dt

Passo 3

Agora integramos cada lado: do lado esquerdo usamos integral y^-2,dy e do direito integral t,dt. Sabendo que integral y^n,dy = y^n+1/(n+1) para nneq -1, fazemos
integral y^-2,dy = integral t,dt
-1y = t^22 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Finalmente, isolamos y. A equação -1/y = t^2/2 + C leva a
1y = -t^22 - C = C1 - t^22,
onde definimos C1 = -2C. Logo,
y(t) = 2C1 - t^2

Resposta

A equação é separável e sua solução geral é
y(t)=2C - t^2,
onde C é a constante de integração.

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