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(x+2) \sin y+(x \cos y) y^{\prime}=0 \quad, \quad y(0)=\pi
(x+2) \sin y+(x \cos y) y^{\prime}=0 \quad, \quad y(0)=\pi
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial e pede pra achar a solução. O conteúdo é resolução de ODE pela noção de equação exata e fator integrante.
com condição inicial e pede pra achar a solução. O conteúdo é resolução de ODE pela noção de equação exata e fator integrante.
Passo 2
Primeiro a gente coloca a ODE na forma
. Aqui temos:
M(x,y) = (x+2)
\sin y,
\sin y,
N(x,y) = x
\cos y.
\cos y.
Em seguida verificamos se é exata, ou seja se
.
Passo 3
Calculamos as derivadas:
Não são iguais, então não é exata.
Passo 4
Buscamos um fator integrante
função só de
. Precisamos que
seja função só de
. Isso dá
Logo
satisfaz
e integrando vem
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
. Ficamos com
e agora é exata.
Passo 6
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
, lembrando que
é constante:
Sabendo que
vem
Passo 7
Agora exigimos que
seja igual a
. Daí
e
é constante. A solução implícita fica
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
. No lado esquerdo
Então
e a solução geral satisfaz
Para
isso dá
, ou seja
. Pelo ponto inicial chegamos em
.
Resposta
y(x)=\pi