[
(x+2) \sin y+(x \cos y) y^{\prime}=0 \quad, \quad y(0)=\pi

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem






















com condição inicial e pede pra achar a solução. O conteúdo é resolução de ODE pela noção de equação exata e fator integrante.

Passo 2

Primeiro a gente coloca a ODE na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Aqui temos:
M(x,y) = (x+2)
\sin y,
N(x,y) = x
\cos y.
Em seguida verificamos se é exata, ou seja se partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
partial M/partial y = (x+2)cos y,
partial N/partial x = cos y.
Não são iguais, então não é exata.

Passo 4

Buscamos um fator integrante mu(x) função só de x. Precisamos que
partial (mu M)/partial y - partial(mu N)/partial xmu N
seja função só de x. Isso dá
(x+2)cos y - cos yxcos y = x+1x = 1 + 1x
Logo mu satisfaz
mu'mu = 1 + 1x
e integrando vem
lnmu = x + ln x implies mu(x) = x e^x

Passo 5

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x e^x. Ficamos com
M^*(x,y) = x e^x (x+2)sin y, N^*(x,y) = x e^x cdot xcos y = x^2 e^x cos y,
e agora é exata.

Passo 6

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M^*(x,y) = (x^2+2x)e^xsin y
Integramos em relação a x, lembrando que sin y é constante:
psi(x,y) = sin y integral (x^2+2x)e^x ,dx + h(y)
Sabendo que
integral (x^2+2x)e^x ,dx = x^2 e^x,
vem
psi(x,y) = x^2 e^xsin y + h(y)

Passo 7

Agora exigimos que
partial psipartial y = x^2 e^xcos y + h'(y)
seja igual a N^*(x,y)=x^2 e^xcos y. Daí h'(y)=0 e h(y) é constante. A solução implícita fica
x^2 e^xsin y = C

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(0)=pi. No lado esquerdo
0^2 e^0 sin(pi) = 0 ,= C
Então C=0 e a solução geral satisfaz
x^2 e^xsin y = 0
Para xneq0 isso dá sin y=0, ou seja y=kpi. Pelo ponto inicial chegamos em k=1.

Resposta

y(x)=\pi

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