Calcule as integrais duplas abaixo.
integral0^pi / 2 integral0^pi / 2 cos (x+y) d y d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral dupla integral0^pi/2integral0^pi/2cos(x+y),dy,dx O conteúdo envolvido é o uso de integrais iteradas (teorema de Fubini) e integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Como a região de integração é retangular, aplicamos o teorema de Fubini e escrevemos a integral como uma iteração em y seguida de x:
$$
\int_{0}{\pi/2}\int_{0}{\pi/2}\cos(x+y),dy,dx

\int_{0}{\pi/2}\Bigl(\int_{0}{\pi/2}\cos(x+y),dy\Bigr)dx.
$$

Passo 3

Vamos calcular a integral interna em y. A primitiva de cos(x+y) em relação a y é sin(x+y), então:
$$
\int_{0}^{\pi/2}\cos(x+y),dy

\sin(x+y)\Big|_{y=0}^{y=\pi/2}

\sin\bigl(x+\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\sin(x)

\cos x - \sin x.
$$

Passo 4

Substituindo no integral em x obtemos:
$$
\int_{0}^{\pi/2}(\cos x - \sin x),dx

\int_{0}^{\pi/2}\cos x,dx

\int_{0}^{\pi/2}\sin x,dx.
$$

Passo 5

Agora basta calcular cada termo separadamente:
integral0^pi/2cos x,dx = sin x|0^pi/2 = 1,
integral0^pi/2sin x,dx = -cos x|0^pi/2 = 1
Logo, o resultado final é 1 - 1 = 0.

Resposta

0

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