Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
integral0^1 integral0^t cos (s^3) , dt , ds
Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integração dupla. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral está na forma integral0^1 integral0^t ldots , dt , ds, o que significa que s varia de 0 a 1 e, para cada s, t varia de s até 1. Para facilitar, vamos trocar a ordem das integrais.

Passo 3

Ao trocar a ordem, t vai de 0 a 1 e, para cada t, s vai de 0 a t. Então a integral fica:
integral0^1 integrals^1 cos (s^3) , dt , ds
Note que cos(s^3) não depende de t, então podemos simplificar a integração em relação a t.

Passo 4

Vamos integrar em relação a t:
integrals^1 cos (s^3) , dt = cos (s^3) integrals^1 , dt = cos (s^3) (1 - s)
Agora a integral dupla se torna uma integral simples em s:
integral0^1 cos (s^3) (1 - s) , ds

Passo 5

Para resolver essa integral, podemos usar a substituição. Vamos deixar u = s^3, então du = 3s^2 ds. No entanto, como temos 1 - s, isso complica um pouco a substituição direta. Então, para simplificar, vamos calcular a integral numérica ou reconhecer que não há uma primitiva elementar para cos(s^3).

Passo 6

Dado que cos(s^3) não possui uma antiderivada simples, concluímos que a integral não pode ser expressa em termos de funções elementares, e sua avaliação exata requer métodos numéricos ou séries.

Resposta

A integral não pode ser expressa em termos de funções elementares e, portanto, sua avaliação exata requer métodos numéricos.

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