[
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 t \quad, \quad y(0)=0 \quad, \quad y^{\prime}(0)=1
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 t \quad, \quad y(0)=0 \quad, \quad y^{\prime}(0)=1
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
com condições iniciais
e
. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem. Vamos precisar achar a solução da parte homogênea (solução complementar) e uma solução particular, e então aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Para resolver a homogênea, consideramos a equação característica
cujas raízes são
Passo 3
Como o termo não homogêneo é
(polinômio de grau 1), escolhemos uma solução particular do tipo
. Derivando, temos
e
. Substituindo em
obtemos
Igualando coeficientes, do termo em
Passo 4
A solução geral da EDO é a soma da complementar com a particular:
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
Em seguida, calculamos
e impomos
Resolvendo o sistema