[
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 t \quad, \quad y(0)=0 \quad, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'' + y' - 2y = 2t com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem. Vamos precisar achar a solução da parte homogênea (solução complementar) e uma solução particular, e então aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Para resolver a homogênea, consideramos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0
cujas raízes são r = 1 e r = -2. Assim, a solução complementar é
yc(t) = C1 e^t + C2 e^-2t

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 2t (polinômio de grau 1), escolhemos uma solução particular do tipo yp(t) = At + B. Derivando, temos yp' = A e yp'' = 0. Substituindo em y'' + y' - 2y = 2t obtemos
0 + A - 2(At + B) = 2t A - 2At - 2B = 2t
Igualando coeficientes, do termo em t: -2A = 2 implies A = -1, e do termo constante: A - 2B = 0 implies -1 - 2B = 0 implies B = -tfrac12. Logo
yp(t) = -t - tfrac12

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma da complementar com a particular:
y(t) = C1 e^t + C2 e^-2t - t - tfrac12

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
y(0)=C1 + C2 - tfrac12 = 0 implies C1 + C2 = tfrac12
Em seguida, calculamos
y'(t) = C1 e^t - 2 C2 e^-2t - 1
e impomos
y'(0) = C1 - 2C2 - 1 = 1 implies C1 - 2C2 = 2
Resolvendo o sistema C1 + C2 = tfrac12 e C1 - 2C2 = 2 C1 = 1 e C2 = -tfrac12.

Resposta

y(t) = e^t - tfrac12 e^-2t - t - tfrac12

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