Calcule as integrais duplas abaixo.
integral0^1 integral0^x d y d x

Passo 1

Neste exercício queremos calcular a integral dupla integral0^1integral0^xdy,dx. O conteúdo envolve integrais duplas e vamos precisar entender a região de integração e aplicar a integração iterada (teorema de Fubini).

Passo 2

Primeiro, identificamos a região de integração D no plano (x,y). Como 0<= y<= x<=1, D é o triângulo abaixo da reta y=x entre x=0 e x=1.

Passo 3

Em seguida, usamos integração iterada: calculamos a integral interna em y:
integral0^xdy = y|0^x = x
Isso transforma a integral dupla na integral simples integral0^1x,dx.

Passo 4

Por fim, integramos em x:
integral0^1x,dx = x^22|0^1 = 12

Passo 5

Portanto, o valor da integral dupla é obtido diretamente como 1/2.

Resposta

\frac{1}{2}

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