Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A questão pede para calcular a integral de
em relação a
e
, onde
varia de 0 a 4 e
varia de 1 a
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração múltipla, especificamente integrais duplas, onde a gente integra primeiro em uma variável e depois na outra.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
. A integral interna é:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
. Então, podemos tirar
da integral:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral
. A antiderivada de
em relação a
é
. Então, avaliando nos limites de integração:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão de volta na integral externa em relação a
:
Passo 6
Vamos separar a integral:
Calculando cada uma:
Passo 7
Avaliando nos limites de 0 a 4:
Então, substituindo de volta:
Resposta
O valor da integral dupla é
.