integral0^4 integral1^raizy-x y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A questão pede para calcular a integral de -x y^2 em relação a x e y, onde y varia de 0 a 4 e x varia de 1 a raizy. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração múltipla, especificamente integrais duplas, onde a gente integra primeiro em uma variável e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a x. A integral interna é:
integral1^raizy -x y^2 , dx
Aqui, y é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a x. Então, podemos tirar y^2 da integral:
- y^2 integral1^raizy x , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral integral x , dx. A antiderivada de x em relação a x é x^22. Então, avaliando nos limites de integração:
- y^2 [ (raizy)^22 - (1)^22 ] = - y^2 [ y2 - 12 ]

Passo 4

Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
y2 - 12 = y - 12
Então, a expressão fica:
- y^2 cdot y - 12 = - y^2(y - 1)2

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral externa em relação a y:
integral0^4 - y^2(y - 1)2 , dy = - 12 integral0^4 y^3 - y^2 , dy

Passo 6

Vamos separar a integral:
- 12 ( integral0^4 y^3 , dy - integral0^4 y^2 , dy )
Calculando cada uma:
integral y^3 , dy = y^44 e integral y^2 , dy = y^33

Passo 7

Avaliando nos limites de 0 a 4:
4^44 - 0^44 = 2564 = 64
4^33 - 0^33 = 643
Então, substituindo de volta:
- 12 ( 64 - 643 ) = - 12 ( 1923 - 643 ) = - 12 cdot 1283 = - 1286 = - 643

Resposta

O valor da integral dupla é -643.

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