1. sumk=1^+infty k^50 e^-k

Passo 1

Neste exercício queremos calcular a série sumk=1^inftyk^50e^-k. O conteúdo principal é séries de potências com fator polinomial em k, que podemos resolver usando derivadas de séries geométricas (funções geradoras de momentos).

Passo 2

Para começar, lembramos da série geométrica básica: para |a|<1, temos
sumk=1^inftya^k = a1-a
Essa expressão converte um somatório infinito em uma função simples de a.

Passo 3

Agora, para gerar o fator k multiplicando cada termo, usamos o operador diferencial atfracdda. Em particular, aplica-se esse operador sobre a série geométrica para obter
sumk=1^inftyk,a^k = addal(sumk=1^inftya^kr) = addal(tfraca1-ar)
Cada aplicação de atfracdda equivale a trazer um fator k do somatório.

Passo 4

De forma geral, ao aplicar n vezes o operador atfracdda sobre a série geométrica, obtemos a expressão para k^n:
sumk=1^inftyk^n a^k = l(addar)^n a1-a

Passo 5

Basta então escolher a=e^-1, que satisfaz |a|<1, e obter
sumk=1^inftyk^50e^-k = (adda)^50a1-ag|a=e^-1

Passo 6

Como alternativa, podemos reconhecer o somatório como um caso de polilogaritmo de ordem negativa. Definindo o polilogaritmo
Lis(z)=sumk=1^inftyk^-sz^k,
vemos que trocar sto -50 e z=e^-1 nos dá diretamente
sumk=1^inftyk^50e^-k = Li-50(e^-1)

Resposta

Li-50(e^-1)

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