Neste exercício queremos calcular a série . O conteúdo principal é séries de potências com fator polinomial em , que podemos resolver usando derivadas de séries geométricas (funções geradoras de momentos).
Passo 2
Para começar, lembramos da série geométrica básica: para , temos
Essa expressão converte um somatório infinito em uma função simples de .
Passo 3
Agora, para gerar o fator multiplicando cada termo, usamos o operador diferencial . Em particular, aplica-se esse operador sobre a série geométrica para obter
Cada aplicação de equivale a trazer um fator do somatório.
Passo 4
De forma geral, ao aplicar vezes o operador sobre a série geométrica, obtemos a expressão para :
Passo 5
Basta então escolher , que satisfaz , e obter
Passo 6
Como alternativa, podemos reconhecer o somatório como um caso de polilogaritmo de ordem negativa. Definindo o polilogaritmo
Lis(z)=sumk=1^inftyk^-sz^k,
vemos que trocar sto -50 e z=e^-1 nos dá diretamente