1. sumk=2^+infty k5^k

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma infinita sumk=2^+infty k5^k. O conteúdo necessário é séries de potências e, em particular, a soma sumk=0^infty k x^k.

Passo 2

Para começar, lembramos que, para |x|<1, vale:
sumk=0^infty x^k = 11-x
Derivando em relação a x termo a termo, obtemos:
sumk=0^infty k x^k-1 = 1(1-x)^2
Multiplicando ambos os lados por x, chega-se a:
sumk=0^infty k x^k = x(1-x)^2

Passo 3

Agora, basta aplicar com x=tfrac15:
sumk=0^infty k l(tfrac15r)^k = 15l(1-15r)^2 = 15l(45r)^2 = 151625 = 516

Passo 4

Como o somatório original começa em k=2, subtraímos os termos de k=0 e k=1. Note que o termo de k=0 é zero e o de k=1 é 1/5. Portanto:
sumk=2^infty k5^k = 516 - 15 = 25-1680 = 980

Resposta

tfrac980

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