Calcule por integrais duplas
a área de um círculo de raio a

Passo 1

O enunciado pede para calcular, via integrais duplas, a área de um círculo de raio a. O conteúdo principal é o uso de coordenadas polares para transformar a integral dupla na região circular e precisamos lembrar do fator Jacobiano para fazer a troca de variáveis.

Passo 2

Para simplificar a integração, usamos coordenadas polares, definindo x = rcostheta e y = rsintheta. Nessa mudança de variáveis, o elemento de área dA vira r,dr,dtheta, já que o Jacobiano é r.

Passo 3

A região R é o círculo de raio a, então em polares temos 0 <= r <= a e 0 <= theta <= 2pi. A área é dada por

Passo 4

Agora calculamos a integral interna em r:

depois a integral em nintegral0^ar,dr = a^22,n:

Resposta

pi a^2

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