Calcule as integrais envolvidas no Teorema da Divergência para
F e S dados.
F(x, y, z)=x i+y j+z k e S é a superfície x^2+y^2+z^2=a^2

Passo 1

A questão pede pra calcular a integral de superfície integral duplaSFcdotn,dS e a integral de volume integral triplaVnablacdotF,dV em que F(x,y,z)=xi+yj+zk e S é a esfera x^2+y^2+z^2=a^2. O conteúdo é o Teorema da Divergência, que relaciona essas duas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de F. Pela definição, temos
nablacdotF=partial xpartial x+partial ypartial y+partial zpartial z=1+1+1=3
Agora, usamos essa divergência na integral de volume sobre a bola de raio a. Como o volume de uma esfera é tfrac43pi a^3, obtemos
integral triplaVnablacdotF,dV=integral triplaV3,dV=3cdot43pi a^3=4pi a^3

Passo 3

Em seguida, calculamos o fluxo de F através de S. O vetor normal unitário em cada ponto de S é
n=1a(xi+yj+zk)
Logo,
Fcdotn=x^2+y^2+z^2a=a^2a=a
Assim,
integral duplaSFcdotn,dS=aintegral duplaS1,dS=acdot4pi a^2=4pi a^3

Passo 4

Chegamos ao mesmo resultado nas duas integrais, confirmando o Teorema da Divergência.

Resposta

As duas integrais valem 4pi a^3.

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