Calcule as integrais envolvidas no Teorema da Divergência para
e
dados.
e
é a superfície
Passo 1
A questão pede pra calcular a integral de superfície
e a integral de volume
em que
e
é a esfera
. O conteúdo é o Teorema da Divergência, que relaciona essas duas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. Pela definição, temos
Agora, usamos essa divergência na integral de volume sobre a bola de raio
. Como o volume de uma esfera é
, obtemos
Passo 3
Em seguida, calculamos o fluxo de
através de
. O vetor normal unitário em cada ponto de
é
Logo,
Assim,
Passo 4
Chegamos ao mesmo resultado nas duas integrais, confirmando o Teorema da Divergência.
Resposta
As duas integrais valem
.