Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve funções trigonométricas e exponenciais. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de integrais duplas em coordenadas polares. Precisamos entender como integrar em duas variáveis e usar substituições para facilitar a conta. Nosso objetivo é calcular:
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é em relação a
. A expressão que precisamos integrar é:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos fatorar isso para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para integrar
. Seja:
Isso simplifica a integral em termos de
:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração para
de 0 a
:
Passo 5
Multiplicando pela constante
, a integral interna fica:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa em relação a
:
Podemos simplificar retirando a constante
para fora da integral:
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos fazer outra substituição. Vamos deixar:
Quando
,
.
Quando
,
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Passo 10
Primeiro, resolvemos
. Fazemos outra substituição:
Então,
Passo 11
Agora, aplicamos os limites:
Passo 12
Agora, resolvemos a segunda integral
:
Passo 13
Substituindo de volta na expressão anterior:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: