Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
(d) integralpi6^pi2 integral0^4 cos theta cos theta sin theta r e^r^2 d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve funções trigonométricas e exponenciais. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de integrais duplas em coordenadas polares. Precisamos entender como integrar em duas variáveis e usar substituições para facilitar a conta. Nosso objetivo é calcular:
integralpi6^pi2 integral0^4 cos theta cos theta sin theta , r e^r^2 , dr , dtheta

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é em relação a cos theta sin theta , r e^r^2 . A expressão que precisamos integrar é:
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos fatorar isso para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para integrar u = r^2 implies du = 2r , dr implies du2 = r , dr . Seja:
integral r e^r^2 , dr = 12 integral e^u , du = 12 e^u + C = 12 e^r^2 + C
Isso simplifica a integral em termos de :

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração para integral0^4 cos theta r e^r^2 , dr = 12 ( e^(4 cos theta)^2 - e^0 ) = 12 ( e^16 cos^2 theta - 1 ) de 0 a :

Passo 5

Multiplicando pela constante cos theta sin theta cdot 12 ( e^16 cos^2 theta - 1 ) = cos theta sin theta2 ( e^16 cos^2 theta - 1 ) , a integral interna fica:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa em relação a integralpi6^pi2 cos theta sin theta2 ( e^16 cos^2 theta - 1 ) , dtheta :
12 integralpi6^pi2 cos theta sin theta ( e^16 cos^2 theta - 1 ) , dtheta
Podemos simplificar retirando a constante para fora da integral:

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos fazer outra substituição. Vamos deixar:
v = cos theta implies dv = -sin theta , dtheta implies -dv = sin theta , dtheta
Quando , .
Quando , .

Passo 8

Substituindo na integral:
12 integralraiz32^0 v ( e^16 v^2 - 1 ) (-dv) = 12 integral0^raiz32 v ( e^16 v^2 - 1 ) dv

Passo 9

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
12 ( integral0^raiz32 v e^16 v^2 , dv - integral0^raiz32 v , dv )

Passo 10

Primeiro, resolvemos w = 16 v^2 implies dw = 32 v , dv implies dw32 = v , dv . Fazemos outra substituição:
integral v e^16 v^2 , dv = 132 integral e^w , dw = 132 e^w + C = 132 e^16 v^2 + C
Então,

Passo 11

Agora, aplicamos os limites:
integral0^raiz32 v e^16 v^2 , dv = 132 ( e^16 ( raiz32 )^2 - e^0 ) = 132 ( e^16 cdot 34 - 1 ) = 132 ( e^12 - 1 )

Passo 12

Agora, resolvemos a segunda integral integral v , dv = v^22 + C implies 12 ( ( raiz32 )^2 - 0 ) = 12 cdot 34 = 38 :

Passo 13

Substituindo de volta na expressão anterior:
12 ( 132 ( e^12 - 1 ) - 38 ) = 164 ( e^12 - 1 ) - 316

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
164 ( e^12 - 1 ) - 316

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