Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
(e) integral0^pi integral0^y^2 cos xy d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral0^pi integral0^y^2 cosxy,dx,dy. O conteúdo aqui é integração iterada de funções envolvendo uma dependência x/y, e vamos precisar usar: a) uma substituição simples para calcular a integral em x; b) redução para uma única integral em y; c) técnica de integração por partes para resolver essa última integral.

Passo 2

Primeiro foco na integral interna em x: I(y)=integral0^y^2cosxy,dx Note que podemos fazer a substituição t=xy, então dx=y,dt. Quando x=0, temos t=0; e quando x=y^2, temos t=y. Assim
I(y)=integral0^ycos t,(y,dt)=yintegral0^ycos t,dt

Passo 3

Agora integramos integral0^ycos t,dt. Como integralcos t,dt=sin t, temos
I(y)=yl[sin tr]0^y=yl(sin y-0r)=ysin y

Passo 4

Portanto a integral dupla vira
integral0^piintegral0^y^2cosxy,dx,dy=integral0^piysin y,dy

Passo 5

Para calcular integral0^piysin y,dy usamos integração por partes. Seja u=y e dv=sin y,dy. Então du=dy e v=-cos y. A fórmula integral u,dv=uv-integral v,du
integral0^piysin y,dy=l[-ycos yr]0^pi-integral0^pi(-cos y),dy

Passo 6

Agora avaliamos cada parte. Primeiro
l[-ycos yr]0^pi=-picospi - ( -0cdotcos0)= -pi(-1)=pi

Passo 7

E também
-integral0^pi(-cos y),dy=integral0^picos y,dy=l[sin yr]0^pi=0

Passo 8

Somando dá pi+0=pi.

Resposta

pi

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