Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
. O conteúdo aqui é integração iterada de funções envolvendo uma dependência
, e vamos precisar usar: a) uma substituição simples para calcular a integral em
; b) redução para uma única integral em
; c) técnica de integração por partes para resolver essa última integral.
Passo 2
Primeiro foco na integral interna em
:
Note que podemos fazer a substituição
, então
. Quando
, temos
; e quando
, temos
. Assim
Passo 3
Agora integramos
. Como
, temos
Passo 4
Portanto a integral dupla vira
Passo 5
Para calcular
usamos integração por partes. Seja
e
. Então
e
. A fórmula
dá
Passo 6
Agora avaliamos cada parte. Primeiro
Passo 7
E também
Passo 8
Somando dá
.