Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
(b) integral0^1 integraly^3 y+1 x y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla: . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos integrar integral x y^2 , dx = y^2 cdot x^22 = y^2 x^22 em relação a . A integral de é , então temos:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de y^2 x^22 |x=y^x=3y+1 = y^2 (3y + 1)^22 - y^2 y^22 , que vão de a :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
y^2 (9y^2 + 6y + 1)2 - y^42 = 9y^4 + 6y^3 + y^2 - y^42 = 8y^4 + 6y^3 + y^22
Podemos simplificar mais dividindo cada termo por 2:
4y^4 + 3y^3 + y^22

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^1 (4y^4 + 3y^3 + y^22) , dy , de 0 a 1:

Passo 7

Integrando termo a termo:
integral 4y^4 , dy = 4y^55, integral 3y^3 , dy = 3y^44, integral y^22 , dy = y^36
Então, a integral completa fica:
4y^55 + 3y^44 + y^36 |0^1

Passo 8

Aplicando os limites de 0 a 1:
4(1)^55 + 3(1)^44 + (1)^36 - ( 4(0)^55 + 3(0)^44 + (0)^36 ) = 45 + 34 + 16

Passo 9

Vamos somar as frações:
45 + 34 + 16 = 4860 + 4560 + 1060 = 10360

Resposta

A integral dupla vale .

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