Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
integral0^ln 2 integral0^y x y^5 e^x^2 y^2 d x d y

Passo 1

O exercício consiste em calcular a integral dupla
integral0^ln 2 integral0^y x y^5 e^x^2 y^2 ,dx,dy
O conteúdo principal é cálculo de integrais iteradas e uso de substituição em integrais definidas. Vamos integrar primeiro em x aplicando uma substituição adequada, e depois integrar em y.

Passo 2

Para a integral interna em x, observe que y é constante. Podemos escrever
integral0^y x y^5 e^x^2 y^2 ,dx = y^5 integral0^y x e^x^2y^2,dx
Fazendo a substituição u = x^2y^2, temos du = 2x y^2,dx, ou x,dx = du2y^2. Quando x=0, u=0; quando x=y, u=y^4. Assim a integral vira
y^52y^2 integral0^y^4 e^u,du = y^32l(e^y^4-1r)

Passo 3

Substituindo o resultado na integral externa, obtemos
I = integral0^ln 2 y^32l(e^y^4-1r),dy = 12integral0^ln2 y^3e^y^4,dy - 12integral0^ln2 y^3,dy
Para integral y^3e^y^4,dy, use v=y^4 e dv=4y^3,dy, obtendo 14e^y^4. A outra integral é trivial: integral y^3,dy = y^44. Logo uma antiderivada de I é
F(y)=18e^y^4 - y^48

Passo 4

Agora avaliamos entre 0 e ln2:
I = F(ln2)-F(0) = 18l(e^(ln2)^4 - (ln2)^4r) - l(18(e^0-0)r) = 18l(e^(ln2)^4 - (ln2)^4 -1r)

Resposta

18l(e^(ln2)^4 - (ln2)^4 -1r)

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