Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
integralpi6^pi2 integral0^4 cos theta cos theta sin theta r e^r^2 d r d theta

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla em coordenadas polares
I=integraltheta=pi6^pi2integralr=0^4costheta costheta,sintheta,r,e^r^2,dr,dtheta
O conteúdo que vamos usar inclui integração iterada, substituição em integrais (tanto na integral em r quanto na integral em theta).

Passo 2

Primeiro, fazemos a integral interna em r. Note que a parte r,e^r^2 sugere a substituição v=r^2, pois dv=2r,dr.
integral0^4costheta r,e^r^2,dr =12integralv=0^16cos^2theta e^v,dv =12l[e^vr]0^16cos^2theta =12l(e^16cos^2theta-1r)

Passo 3

Substituindo na integral em theta obtemos
I=integralpi6^pi2 costheta,sintheta,12l(e^16cos^2theta-1r),dtheta =12integralpi6^pi2 costheta,sinthetal(e^16cos^2theta-1r),dtheta

Passo 4

Para resolver essa integral em theta, usamos a substituição u=cos^2theta. Então
du=-2sintheta,costheta,dtheta Longrightarrow sintheta,costheta,dtheta=-12du
Os limites em u são: quando theta=pi6, u=cos^2(pi6)=tfrac34; quando theta=pi2, u=0.

Passo 5

Substituindo tudo na integral:
I=12integraltheta=pi6^pi2(e^16u-1),sintheta,costheta,dtheta =-14integralu=34^0(e^16u-1),du =14integral0^34(e^16u-1),du
Agora integramos em u:
integral0^3/4e^16u,du=116l(e^12-1r), integral0^3/41,du=34

Passo 6

Então
I=14l[e^12-116-34r] =e^12-164-316 =e^12-1364

Resposta

e^12-1364

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