Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
integral0^1 integralx^3 x+1 x y d y d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral dupla integral0^1 integralx^3x+1 x,y,dy,dx. O conteúdo é integração iterada em duplo, e vamos precisar primeiro integrar em relação a y tratando x como constante, depois integrar o resultado em relação a x.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna integralx^3x+1 x,y,dy. Como x é constante em relação a y, podemos escrever
integralx^3x+1 x,y,dy = x integralx^3x+1 y,dy = x l[ y^22 r]y=x^y=3x+1 = x l( (3x+1)^22 - x^22 r)
Agora simplificamos: x l( (3x+1)^2 - x^22 r) = x2 l(9x^2 + 6x + 1 - x^2r) = x2 (8x^2 + 6x + 1) = 4x^3 + 3x^2 + x2

Passo 3

Em seguida, integramos esse resultado de x=0 a x=1: integral0^1 l(4x^3 + 3x^2 + tfracx2r) dx = 4 integral0^1 x^3 dx + 3 integral0^1 x^2 dx + tfrac12 integral0^1 x dx

Passo 4

Calculando cada termo:
4 cdot x^44 |0^1 = 1, 3 cdot x^33 |0^1 = 1, tfrac12 cdot x^22 |0^1 = 14

Passo 5

Somando os resultados obtemos 1 + 1 + tfrac14 = tfrac94.

Resposta

94

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