Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
integral0^4 integral0^1 x e^x y d y d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral dupla integral0^4integral0^1x,e^xy,dy,dx. O conteúdo aqui é integração iterada: primeiro integramos em y mantendo x fixo, depois em x.

Passo 2

Para a integral interna, note que x é constante em relação a y. Então
integral0^1x,e^xy,dy = xintegral0^1e^xy,dy

Passo 3

A primitiva de e^xy em relação a y é 1xe^xy. Logo,
xintegral0^1e^xy,dy = xl[1xe^xyr]y=0^y=1 = l[e^xyr]0^1 = e^x-1

Passo 4

Agora a integral dupla virou uma integral simples em x:
integral0^4(e^x-1),dx = integral0^4e^x,dx - integral0^41,dx

Passo 5

Calculando cada parte:
integral0^4e^x,dx = [e^x]0^4 = e^4-1,
integral0^41,dx = [x]0^4 = 4

Passo 6

Subtraindo,
e^4-1 - 4 = e^4 - 5

Resposta

e^4 - 5

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