Questão: (20 pontos) Uma companhia plenaja fabricar caixas retangulares de 8 metros cúbicos de volume. Determine as dimensões que minimizem o custo, se o matgrial para a tampa e o fundo custa o dobro do material para os lados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma empresa que quer fabricar caixas retangulares com um volume fixo de 8 metros cúbicos. O objetivo é descobrir quais devem ser as dimensões dessas caixas para que o custo do material seja o menor possível. Só que tem um detalhe: o material usado para a tampa e o fundo custa o dobro do material usado para os lados. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo de otimização, que ajuda a encontrar valores mínimos ou máximos de funções. Vamos precisar definir as dimensões da caixa, expressar o custo total em termos dessas dimensões e então encontrar o mínimo desse custo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar:
  • V = x times y times h = largura da caixa (em metros)
  • x times y times h = 8 = comprimento da caixa (em metros)
  • = altura da caixa (em metros)
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
E nos foi dito que m³. Então:

Passo 3

Agora, vamos pensar no custo do material. Existem duas partes na caixa que usam o material mais caro: a tampa e o fundo. O custo do material para esses é o dobro do material para os lados. Vamos chamar o custo por metro quadrado dos lados de . Então, o custo para a tampa e o fundo será por metro quadrado.
Vamos calcular as áreas:
  • Tampas e fundos: 2 peças, cada uma com área
  • Lados: 2 peças com área e 2 peças com área

Passo 4

Escrevendo o custo total Ctotal = 2 times (2C times x times y) + 2C times (x times h) + 2C times (y times h) :
Ctotal = 4Cxy + 2Cxh + 2Cyh
Simplificando:
C' = 4xy + 2xh + 2yh
Como queremos minimizar o custo, podemos ignorar o fator comum (pois estamos interessados na relação entre as dimensões):

Passo 5

Agora, vamos usar a relação do volume para expressar uma das variáveis em termos das outras. A partir de h = 8xy , podemos resolver para C' = 4xy + 2x(8xy) + 2y(8xy) :
C' = 4xy + 16y + 16x
Vamos substituir na expressão do custo :
Simplificando:

Passo 6

Agora, queremos minimizar partial C'partial x = 4y - 16x^2 em função de 4y - 16x^2 = 0 e 4y = 16x^2 . Isso significa que precisamos encontrar os valores de y = 4x^2 e que fazem com que seja o menor possível.
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , igualar a zero e resolver o sistema de equações resultante.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:

Passo 7

Agora, a derivada parcial em relação a partial C'partial y = 4x - 16y^2 :
4x - 16y^2 = 0
Igualando a zero:
4x = 16y^2
x = 4y^2

Passo 8

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. x = 4(4x^2)^2
  2. x = 416x^4
Vamos substituir a equação 1 na equação 2:
x = 4x^416
Simplificando:
x = x^44
4x = x^4
x^4 - 4x = 0
Multiplicando ambos os lados por 4:
x(x^3 - 4) = 0
x^3 - 4 = 0
x^3 = 4
Como x = raiz[3]4 approx 1,587 metros não pode ser zero (dimensões não fazem sentido serem zero), temos:

Passo 9

Agora que temos y = 4(raiz[3]4)^2 , vamos encontrar y = 4raiz[3]16 approx 42,519 approx 1,587 metros usando a equação :
Sabemos que , então:
Curiosamente, também é aproximadamente 1,587 metros.

Passo 10

Finalmente, vamos encontrar h = 8(raiz[3]4) times (raiz[3]4) = 8(raiz[3]4)^2 usando h = 8raiz[3]16 approx 82,519 approx 3,176 metros :
Como , temos:

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são aproximadamente:
  • Largura (x): 1,587 metros
  • Comprimento (y): 1,587 metros
  • Altura (h): 3,176 metros

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