Questão: (20 pontos) Uma companhia plenaja fabricar caixas retangulares de 8 metros cúbicos de volume. Determine as dimensões que minimizem o custo, se o matgrial para a tampa e o fundo custa o dobro do material para os lados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma empresa que quer fabricar caixas retangulares com um volume fixo de 8 metros cúbicos. O objetivo é descobrir quais devem ser as dimensões dessas caixas para que o custo do material seja o menor possível. Só que tem um detalhe: o material usado para a tampa e o fundo custa o dobro do material usado para os lados. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo de otimização, que ajuda a encontrar valores mínimos ou máximos de funções. Vamos precisar definir as dimensões da caixa, expressar o custo total em termos dessas dimensões e então encontrar o mínimo desse custo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar:
-
= largura da caixa (em metros) -
= comprimento da caixa (em metros) -
= altura da caixa (em metros)
Sabemos que o volume
da caixa é dado por:
E nos foi dito que
m³. Então:
Passo 3
Agora, vamos pensar no custo do material. Existem duas partes na caixa que usam o material mais caro: a tampa e o fundo. O custo do material para esses é o dobro do material para os lados. Vamos chamar o custo por metro quadrado dos lados de
. Então, o custo para a tampa e o fundo será
por metro quadrado.
Vamos calcular as áreas:
- Tampas e fundos: 2 peças, cada uma com área
- Lados: 2 peças com área
e 2 peças com área
Passo 4
Escrevendo o custo total
:
Simplificando:
Como queremos minimizar o custo, podemos ignorar o fator comum
(pois estamos interessados na relação entre as dimensões):
Passo 5
Agora, vamos usar a relação do volume para expressar uma das variáveis em termos das outras. A partir de
, podemos resolver para
:
Vamos substituir
na expressão do custo
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, queremos minimizar
em função de
e
. Isso significa que precisamos encontrar os valores de
e
que fazem com que
seja o menor possível.
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, igualar a zero e resolver o sistema de equações resultante.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Passo 7
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Passo 8
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos substituir a equação 1 na equação 2:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Como
não pode ser zero (dimensões não fazem sentido serem zero), temos:
Passo 9
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a equação
:
Sabemos que
, então:
Curiosamente,
também é aproximadamente 1,587 metros.
Passo 10
Finalmente, vamos encontrar
usando
:
Como
, temos:
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são aproximadamente:
- Largura (x): 1,587 metros
- Comprimento (y): 1,587 metros
- Altura (h): 3,176 metros