Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
integral0^1 integraly^3 y+1 x y^2 d x d y

Passo 1

A gente precisa calcular a integral dupla integral0^1!integraly^3y+1 x,y^2,dx,dy. O conteúdo aqui é integração iterada: primeiro a gente integra em x mantendo y fixo e depois integra em y de 0 até 1.

Passo 2

Para a integral interna, fatoramos y^2 que não depende de x e escrevemos:
integraly^3y+1 x,y^2,dx = y^2 integraly^3y+1 x,dx

Passo 3

Agora calculamos integraly^3y+1 x,dx. Sabemos que integral x,dx = x^2/2, então
integraly^3y+1 x,dx = (3y+1)^2 - y^22 = 9y^2+6y+1 - y^22 = 8y^2+6y+12
Multiplicando por y^2, a integral interna fica
y^2 cdot 8y^2+6y+12 = 8y^4+6y^3+y^22 = 4y^4+3y^3+tfrac12 y^2

Passo 4

Agora temos que integrar em y:
integral0^1l(4y^4+3y^3+tfrac12y^2r)dy
Usamos a regra integral y^ndy = y^n+1/(n+1).

Passo 5

Fazendo a integral em y de 0 a 1, obtemos
l[4y^55 + 3y^44 + y^36r]0^1 = 45 + 34 + 16
Somando as frações com denominador 60 dá
4860 + 4560 + 1060 = 10360

Resposta

103/60

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