Calcule as integrais duplas: \iint_{B}\left(x y^{2}\right) d x d y, sendo B o retangulo 1 \leqslant x \leqslant 2,2 \leqslant y \leqslant 3.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} \left(x y^{2}\right)\,dx\,dy,
onde B é o retângulo dado pelos limites
1 \leqslant x \leqslant 2,\qquad 2 \leqslant y \leqslant 3.
Informações relevantes fornecidas:
A região B é um retângulo com x variando de 1 até 2 e y variando de 2 até 3.
A função a integrar é f(x,y)=x\,y^{2}.
O que se pede: calcular o valor numérico da integral dupla \iint_{B} x y^{2}\,dx\,dy.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e por que isso funciona):
Como a região é um retângulo e a função f(x,y)=x\,y^{2} é contínua em B, vale o Teorema de Fubini: a integral dupla pode ser calculada como integral iterada. Em outras palavras,
\iint_{B} x y^{2}\,dx\,dy = \int_{y=2}^{3}\!\int_{x=1}^{2} x y^{2}\,dx\,dy
ou trocando a ordem
\iint_{B} x y^{2}\,dx\,dy = \int_{x=1}^{2}\!\int_{y=2}^{3} x y^{2}\,dy\,dx.
Além disso, a função é produto de uma parte que depende só de x e outra que depende só de y: x\,y^{2} = (x)\cdot(y^{2}). Nesses casos a integral sobre o retângulo se separa como produto de integrais simples:
\iint_{B} x y^{2}\,dx\,dy = \left(\int_{1}^{2} x\,dx\right)\cdot\left(\int_{2}^{3} y^{2}\,dy\right).
Explicando por que isso é verdade, de forma simples: ao integrar primeiro em x, y^{2} é constante em relação a x e pode ser puxado para fora da integral em x; ao final resta multiplicar pelo resultado da integral em y.
Passo 3
Aplicando a separação (escrevendo a integral como produto):
\iint_{B} x y^{2}\,dx\,dy = \left(\int_{1}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{2}^{3} y^{2}\,dy\right).
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais simples usando a regra da potência para antiderivadas.
Regra da potência (mini-aula): para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui usaremos essa fórmula com n=1 (para x) e n=2 (para y^{2}).
Como verificação rápida (opcional): se tivéssemos integrado primeiro em y e depois em x, obteríamos o mesmo resultado — é sempre assim para funções contínuas em retângulos.