Calcule as integrais duplas:
\iint_{B}\left(x y^{2}\right) d x d y, sendo B o retangulo 1 \leqslant x \leqslant 2,2 \leqslant y \leqslant 3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} \left(x y^{2}\right)\,dx\,dy,
onde B é o retângulo dado pelos limites
1 \leqslant x \leqslant 2,\qquad 2 \leqslant y \leqslant 3.
Informações relevantes fornecidas:
  • A região B é um retângulo com x variando de 1 até 2 e y variando de 2 até 3.
  • A função a integrar é f(x,y)=x\,y^{2}.
    O que se pede: calcular o valor numérico da integral dupla \iint_{B} x y^{2}\,dx\,dy.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e por que isso funciona):
  • Como a região é um retângulo e a função f(x,y)=x\,y^{2} é contínua em B, vale o Teorema de Fubini: a integral dupla pode ser calculada como integral iterada. Em outras palavras,
\iint_{B} x y^{2}\,dx\,dy = \int_{y=2}^{3}\!\int_{x=1}^{2} x y^{2}\,dx\,dy
ou trocando a ordem
\iint_{B} x y^{2}\,dx\,dy = \int_{x=1}^{2}\!\int_{y=2}^{3} x y^{2}\,dy\,dx.
  • Além disso, a função é produto de uma parte que depende só de x e outra que depende só de y: x\,y^{2} = (x)\cdot(y^{2}). Nesses casos a integral sobre o retângulo se separa como produto de integrais simples:
\iint_{B} x y^{2}\,dx\,dy = \left(\int_{1}^{2} x\,dx\right)\cdot\left(\int_{2}^{3} y^{2}\,dy\right).
Explicando por que isso é verdade, de forma simples: ao integrar primeiro em x, y^{2} é constante em relação a x e pode ser puxado para fora da integral em x; ao final resta multiplicar pelo resultado da integral em y.

Passo 3

Aplicando a separação (escrevendo a integral como produto):
\iint_{B} x y^{2}\,dx\,dy = \left(\int_{1}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{2}^{3} y^{2}\,dy\right).
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais simples usando a regra da potência para antiderivadas.
Regra da potência (mini-aula): para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui usaremos essa fórmula com n=1 (para x) e n=2 (para y^{2}).

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{1}^{2} x\,dx.
  • Aplicando a regra da potência com n=1:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
  • Avaliando nos limites 1 a 2:
\int_{1}^{2} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2} = \frac{4}{2}-\frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{2}^{3} y^{2}\,dy.
  • Aplicando a regra da potência com n=2:
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
  • Avaliando nos limites 2 a 3:
\int_{2}^{3} y^{2}\,dy = \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{2}^{3} = \frac{3^{3}}{3}-\frac{2^{3}}{3} = \frac{27}{3}-\frac{8}{3} = \frac{19}{3}.

Passo 6

Multiplicar os resultados obtidos:
\iint_{B} x y^{2}\,dx\,dy = \left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{19}{3}\right).
Simplificando:
\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{19}{3}\right) = \frac{19}{2}.
Como verificação rápida (opcional): se tivéssemos integrado primeiro em y e depois em x, obteríamos o mesmo resultado — é sempre assim para funções contínuas em retângulos.

Resposta

\dfrac{19}{2}

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