Encontre a primitiva.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) da função dada. As informações fornecidas são:
- A integral a ser calculada é
. - Não há limites de integração fornecidos, então é uma integral indefinida.
- Resultado esperado: uma função
tal que , mais uma constante de integração.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática do método que vamos usar).
Quando vemos uma função composta como e há um fator
multiplicando, isso sugere a substituição por uma nova variável que seja o interior da função composta. A técnica é chamada substituição (ou mudança de variável) e funciona bem quando a diferencial da substituição aparece no integrando.
Quando vemos uma função composta como
Regra prática: se
e
aparece (até um fator) no integrando, podemos reescrever a integral em termos de
, o que geralmente simplifica muito o cálculo.
Passo 3
Escolhendo a substituição.
Tomamos a parte interna do cosseno:
Tomamos a parte interna do cosseno:
Agora vamos relacionar
com
.
Passo 4
Cálculo do diferencial.
Derivando em relação a
obtemos
Derivando
Isolando
obtemos
Esta igualdade mostra que o fator
presente na integral original é exatamente
. Isso é ótimo: permite trocar
por
de forma direta.
Passo 5
Reescrevendo a integral em
.
Substituindo e
na integral original, obtemos
Substituindo
Agora a integral ficou simples: é a primitiva de
.
Passo 6
Integração em
.
A primitiva básica que precisamos lembrar é: a derivada de é
. Portanto
A primitiva básica que precisamos lembrar é: a derivada de
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando para a variável
.
Substituindo de volta, temos uma primitiva para a integral original:
Substituindo
Passo 8
Verificação (derivando para checar).
Vamos derivar para confirmar que
. Usando a regra da cadeia:
Vamos derivar
A verificação confirma que a primitiva está correta.
Passo 9
Observações finais e domínio.
- A constante de integração
é necessária em integrais indefinidas. - O domínio natural da primitiva
exige porque só está definido para . Isso coincide com o domínio do integrando , que também exige .