Encontre a primitiva.
(2,0) \int \frac{\cos (\ln x)}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) da função dada. As informações fornecidas são:
  • A integral a ser calculada é \displaystyle \int \frac{\cos(\ln x)}{x}\,dx.
  • Não há limites de integração fornecidos, então é uma integral indefinida.
  • Resultado esperado: uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\cos(\ln x)}{x}, mais uma constante de integração.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática do método que vamos usar).
Quando vemos uma função composta como \cos(\ln x) e há um fator \dfrac{1}{x} multiplicando, isso sugere a substituição por uma nova variável que seja o interior da função composta. A técnica é chamada substituição (ou mudança de variável) e funciona bem quando a diferencial da substituição aparece no integrando.
Regra prática: se u=g(x) e du = g'(x)\,dx aparece (até um fator) no integrando, podemos reescrever a integral em termos de u, o que geralmente simplifica muito o cálculo.

Passo 3

Escolhendo a substituição.
Tomamos a parte interna do cosseno:
u=\ln x.
Agora vamos relacionar du com dx.

Passo 4

Cálculo do diferencial.
Derivando \;u=\ln x\; em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}.
Isolando du obtemos
du=\frac{1}{x}\,dx.
Esta igualdade mostra que o fator \dfrac{1}{x}\,dx presente na integral original é exatamente du. Isso é ótimo: permite trocar x por u de forma direta.

Passo 5

Reescrevendo a integral em u.
Substituindo \;u=\ln x\; e \;du=\dfrac{1}{x}\,dx\; na integral original, obtemos
\int \frac{\cos(\ln x)}{x}\,dx = \int \cos(u)\,du.
Agora a integral ficou simples: é a primitiva de \cos(u).

Passo 6

Integração em u.
A primitiva básica que precisamos lembrar é: a derivada de \sin(u) é \cos(u). Portanto
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltando para a variável x.
Substituindo u=\ln x de volta, temos uma primitiva para a integral original:
\sin(\ln x) + C.

Passo 8

Verificação (derivando para checar).
Vamos derivar F(x)=\sin(\ln x) para confirmar que F'(x)=\dfrac{\cos(\ln x)}{x}. Usando a regra da cadeia:
F'(x)=\cos(\ln x)\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x}=\frac{\cos(\ln x)}{x}.
A verificação confirma que a primitiva está correta.

Passo 9

Observações finais e domínio.
  • A constante de integração C é necessária em integrais indefinidas.
  • O domínio natural da primitiva \sin(\ln x) exige x>0 porque \ln x só está definido para x>0. Isso coincide com o domínio do integrando \dfrac{\cos(\ln x)}{x}, que também exige x>0.

Resposta

\sin(\ln x)+C

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