Dada a função f=f(x, y) abaixo, determine seus pontos críticos, aplique a condição necessária para determinar os candidatos a máximo e mínimo de f e aplique a condição suciciente para determinar os pontos de máximo e mínimo locais de f :
f(x, y)=x^{3}-3 x^{2} y+27 y

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}-3x^{2}y+27y
E pede, em linguagem prática:
  • Determinar os pontos críticos de f (os pontos onde a derivada ‘some’ e que são candidatos a extremos).
  • Aplicar a condição necessária para encontrar os candidatos a máximo e mínimo (ou seja, resolver \nabla f=0).
  • Aplicar a condição suficiente (teste das derivadas segundas / Hessiana) para classificar esses pontos como máximo, mínimo ou ponto de sela.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é explícita em x e y e é diferenciável em todo \mathbb{R}^2 (polinomial).
  • Não há restrições de domínio; considerar (x,y)\in\mathbb{R}^2.

Passo 2

Conceito e uso da condição necessária (resumo didático):
  • Para uma função diferenciável de duas variáveis, um ponto interno onde ocorre máximo ou mínimo local deve satisfazer \nabla f=0 (isso é uma versão de Fermat para várias variáveis). Ou seja, ambos os derivativos parciais devem ser nulos.
  • Assim, calculamos as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} e resolvemos o sistema \dfrac{\partial f}{\partial x}=0,\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=0.
Cálculo das derivadas parciais (passo a passo e explicando cada termo):
  • Derivada parcial em relação a x: trate y como constante. Para x^{3} a derivada é 3x^{2}. Para -3x^{2}y, y é constante, a derivada é -6xy. Para 27y a derivada em x é 0.
    \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-6xy.
    Podemos fatorar para ficar mais claro:
    \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x(x-2y).
    Aqui 3 é constante, x e y são variáveis; o fatorizar ajuda a resolver a equação igual a zero.
  • Derivada parcial em relação a y: trate x como constante. Para x^{3} a derivada é 0. Para -3x^{2}y a derivada é -3x^{2}. Para 27y a derivada é 27.
    \dfrac{\partial f}{\partial y}= -3x^{2}+27.
    Podemos escrever também
    \dfrac{\partial f}{\partial y}=27-3x^{2}.

Passo 3

Resolver o sistema [\dfrac{\partial f}{\partial x}=0,\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=0) (encontrar os pontos críticos).
Temos o sistema:
\begin{cases} 3x(x-2y)=0,\\[4pt] 27-3x^{2}=0. \end{cases}
Resolver a segunda equação primeiro (mais simples):
27-3x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}=27 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 3.
Agora usar a primeira equação 3x(x-2y)=0\]. Como \(3\neq 0, as possibilidades são:
  • x=0, ou
  • x-2y=0 isto é y=\dfrac{x}{2}.
Combinar com as soluções de x da segunda equação:
  • Se x=0: isso não satisfaz x=\pm 3. Logo x=0 não é compatível com 27-3x^{2}=0. Portanto não dá ponto crítico.
  • Se y=\dfrac{x}{2} e x=\pm 3:
    • Para x=3: y=\dfrac{3}{2}.
    • Para x=-3: y=-\dfrac{3}{2}.
Conclusão desta etapa: os pontos críticos são
(3,\tfrac{3}{2})\quad\text{e}\quad(-3,-\tfrac{3}{2}).]

Passo 4

Conceito da condição suficiente (teste das derivadas segundas) e cálculo da Hessiana:
  • Para classificar um ponto crítico isolado de f usa-se a matriz Hessiana H das segundas derivadas e o discriminante D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2}.Regras práticas:
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
    • Se D<0 então ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vamos calcular as segundas derivadas (passo a passo):
  • Já tínhamos f_{x}=3x^{2}-6xy. f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(3x^{2}-6xy)=6x-6y=6(x-y).
f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-6xy)=-6x.
  • Já tínhamos f_{y}=27-3x^{2}, que não depende de y, então f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(27-3x^{2})=0.
Agora o discriminante:
D = f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2} = 6(x-y)\cdot 0 - (-6x)^{2} = -36x^{2}.

Passo 5

Avaliar o discriminante e classificar cada ponto crítico:
  • No ponto (3,\tfrac{3}{2}): x=3.
    D = -36(3)^{2} = -36\cdot 9 = -324 <0.
    Como D<0, pelo teste das derivadas segundas esse ponto é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo local).
  • No ponto (-3,-\tfrac{3}{2}): x=-3.
    D = -36(-3)^{2} = -36\cdot 9 = -324 <0.
    Também aqui D<0, então é ponto de sela.
Observação didática final e ânimo:
  • Se D<0 precisamos aceitar que a superfície tem comportamento tipo sela: em algumas direções sobe, em outras desce. Portanto nenhum desses pontos é máximo ou mínimo local.
  • Bom trabalho até aqui — identificar e classificar pontos críticos segue passos fixos: calcular \nabla f, resolver \nabla f=0, calcular Hessiana e aplicar o teste. Com prática isso fica automático.

Resposta

(3,\tfrac{3}{2}) — ponto de sela
(-3,-\tfrac{3}{2}) — ponto de sela

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