Dada a função
abaixo, determine seus pontos críticos, aplique a condição necessária para determinar os candidatos a máximo e mínimo de
e aplique a condição suciciente para determinar os pontos de máximo e mínimo locais de
:
Passo 1
O enunciado dá a função
E pede, em linguagem prática:
E pede, em linguagem prática:
- Determinar os pontos críticos de
(os pontos onde a derivada ‘some’ e que são candidatos a extremos). - Aplicar a condição necessária para encontrar os candidatos a máximo e mínimo (ou seja, resolver
). - Aplicar a condição suficiente (teste das derivadas segundas / Hessiana) para classificar esses pontos como máximo, mínimo ou ponto de sela.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é explícita em
e e é diferenciável em todo (polinomial). - Não há restrições de domínio; considerar
.
Passo 2
Conceito e uso da condição necessária (resumo didático):
- Para uma função diferenciável de duas variáveis, um ponto interno onde ocorre máximo ou mínimo local deve satisfazer
(isso é uma versão de Fermat para várias variáveis). Ou seja, ambos os derivativos parciais devem ser nulos. - Assim, calculamos as derivadas parciais
e e resolvemos o sistema .
Cálculo das derivadas parciais (passo a passo e explicando cada termo):
-
Derivada parcial em relação a
: trate como constante. Para a derivada é . Para , é constante, a derivada é . Para a derivada em é . Podemos fatorar para ficar mais claro:Aquié constante, e são variáveis; o fatorizar ajuda a resolver a equação igual a zero. -
Derivada parcial em relação a
: trate como constante. Para a derivada é . Para a derivada é . Para a derivada é . Podemos escrever também
Passo 3
Resolver o sistema [\dfrac{\partial f}{\partial x}=0,\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=0) (encontrar os pontos críticos).
Temos o sistema:
Resolver a segunda equação primeiro (mais simples):
Agora usar a primeira equação
, as possibilidades são:
-
, ou -
isto é .
Combinar com as soluções de
da segunda equação:
- Se
: isso não satisfaz . Logo não é compatível com . Portanto não dá ponto crítico. - Se
e : - Para
: . - Para
: .
- Para
Conclusão desta etapa: os pontos críticos são
Passo 4
Conceito da condição suficiente (teste das derivadas segundas) e cálculo da Hessiana:
- Para classificar um ponto crítico isolado de
usa-se a matriz Hessiana das segundas derivadas e o discriminante Regras práticas: - Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Vamos calcular as segundas derivadas (passo a passo):
- Já tínhamos
.
- Já tínhamos
, que não depende de , então
Agora o discriminante:
Passo 5
Avaliar o discriminante e classificar cada ponto crítico:
-
No ponto
: . Como, pelo teste das derivadas segundas esse ponto é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo local). -
No ponto
: . Também aqui, então é ponto de sela.
Observação didática final e ânimo:
- Se
precisamos aceitar que a superfície tem comportamento tipo sela: em algumas direções sobe, em outras desce. Portanto nenhum desses pontos é máximo ou mínimo local. - Bom trabalho até aqui — identificar e classificar pontos críticos segue passos fixos: calcular
, resolver , calcular Hessiana e aplicar o teste. Com prática isso fica automático.