Nos ítens abaixo, encontre uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo indicado. Em seguida, faça um esboço da superfície.
z=4+y^{2} no plano y z, em torno do eixo z.

Passo 1

O enunciado dá a curva
z = 4 + y^{2}
no plano y z e pede (1) uma equação da superfície obtida ao rotacionar essa curva em torno do eixo z e (2) um esboço da superfície. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva está no plano y z, isto é, no plano x=0.
  • Pontos da curva têm coordenadas (0,\;y,\;4+y^{2}) para todo y\in\mathbb{R}.
  • A rotação é em torno do eixo z, portanto o valor de z de cada ponto não muda durante a rotação; o que muda é a posição no plano x y, formando círculos ao redor do eixo z.

Passo 2

Entender o efeito da rotação: quando um ponto (0,\;y,\;z) é girado em torno do eixo z, ele descreve um círculo de raio igual à distância do ponto original ao eixo z. A distância ao eixo z de (0,\;y,\;z) é |y|. Assim, após a rotação cada ponto gera todos os pontos (x,y,z) com
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = |y_{\text{orig}}|
e o mesmo valor de z. Uma maneira padrão e muito útil de ver isso é usar coordenadas cilíndricas: (r,\theta,z) com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Na rotação em torno de z o parâmetro angular \theta varia de 0 a 2\pi e o raio r corresponde ao valor absoluto do y da curva original.

Passo 3

Transcrever a relação z=4+y^{2} para a superfície de revolução. Na curva original o quadrado de y aparece; ao rotacionar, o papel de y^{2} é desempenhado por r^{2}, porque r^{2}=x^{2}+y^{2}. Logo, substituindo y^{2} por r^{2} obtemos
z = 4 + r^{2}.
Voltando a coordenadas cartesianas, r^{2}=x^{2}+y^{2}, então a equação da superfície é
\boxed{\,z = 4 + x^{2} + y^{2}\,}.
Uma parametrização explícita (útil para visualizar) é
(x,y,z) = \bigl(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; 4 + r^{2}\bigr),
com r\ge 0 e 0\le\theta<2\pi.

Passo 4

Interpretação geométrica e como esboçar:
  • A equação \,z=4+x^{2}+y^{2}\, é a de um paraboloide circular de revolução que abre para cima.
  • Vértice: quando x=0 e y=0 temos z=4. Então o vértice está em (0,0,4).
  • Nível e secções:
    • Para uma altura fixa z_{0}\ge 4, a interseção com o plano z=z_{0} é o círculo x^{2}+y^{2}=z_{0}-4,de raio \sqrt{z_{0}-4}. Para z<4 não há pontos (domínio vertical: z\ge 4).
    • Interseção com o plano x=0 (o plano original): recupera a parábola z=4+y^{2}.
    • Interseção com o plano y=0: dá a parábola z=4+x^{2}.
  • Como desenhar (passo a passo prático para a prova):
    1. Marque o ponto (0,0,4) como vértice.
    2. Para algumas alturas z=5,6,8 desenhe círculos centrados em (0,0,z) com raios \sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{4} respectivamente.
    3. Ligue suavemente esses círculos formando uma superfície que se alarga à medida que z cresce — isso é o paraboloide.
  • Dica de verificação rápida: qualquer ponto da forma (x,y,4+x^{2}+y^{2}) pertence à superfície; por exemplo (1,0,5) (porque 5=4+1^{2}+0^{2}) e (0,2,8) (porque 8=4+0^{2}+2^{2}).

Passo 5

Resumo pedagógico curto: a rotação transformou a parábola do plano x=0 em um paraboloide circular porque o termo quadrático y^{2} virou a distância radial ao quadrado x^{2}+y^{2}. Esse tipo de argumento (substituir a coordenada que estava na direção do eixo de rotação pelo raio) é a técnica padrão para obter a equação de superfícies de revolução — memorizando isso, resolve muitos exercícios parecidos rapidinho.

Resposta

z = 4 + x^{2} + y^{2}
Superfície: paraboloide circular de revolução, vértice em (0,0,4), com domínio z\ge 4.

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