Nos ítens abaixo, encontre uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo indicado. Em seguida, faça um esboço da superfície.
no plano
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
no plano
e pede (1) uma equação da superfície obtida ao rotacionar essa curva em torno do eixo
e (2) um esboço da superfície. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva está no plano
, isto é, no plano . - Pontos da curva têm coordenadas
para todo . - A rotação é em torno do eixo
, portanto o valor de de cada ponto não muda durante a rotação; o que muda é a posição no plano , formando círculos ao redor do eixo .
Passo 2
Entender o efeito da rotação: quando um ponto
é girado em torno do eixo
, ele descreve um círculo de raio igual à distância do ponto original ao eixo
. A distância ao eixo
de
é
. Assim, após a rotação cada ponto gera todos os pontos
com
e o mesmo valor de
. Uma maneira padrão e muito útil de ver isso é usar coordenadas cilíndricas:
com
onde
. Na rotação em torno de
o parâmetro angular
varia de
a
e o raio
corresponde ao valor absoluto do
da curva original.
Passo 3
Transcrever a relação
para a superfície de revolução. Na curva original o quadrado de
aparece; ao rotacionar, o papel de
é desempenhado por
, porque
. Logo, substituindo
por
obtemos
Voltando a coordenadas cartesianas,
, então a equação da superfície é
Uma parametrização explícita (útil para visualizar) é
com
e
.
Passo 4
Interpretação geométrica e como esboçar:
- A equação
é a de um paraboloide circular de revolução que abre para cima. - Vértice: quando
e temos . Então o vértice está em . - Nível e secções:
- Para uma altura fixa
, a interseção com o plano é o círculo de raio . Para não há pontos (domínio vertical: ). - Interseção com o plano
(o plano original): recupera a parábola . - Interseção com o plano
: dá a parábola .
- Para uma altura fixa
- Como desenhar (passo a passo prático para a prova):
- Marque o ponto
como vértice. - Para algumas alturas
desenhe círculos centrados em com raios respectivamente. - Ligue suavemente esses círculos formando uma superfície que se alarga à medida que
cresce — isso é o paraboloide.
- Marque o ponto
- Dica de verificação rápida: qualquer ponto da forma
pertence à superfície; por exemplo (porque ) e (porque ).
Passo 5
Resumo pedagógico curto: a rotação transformou a parábola do plano
em um paraboloide circular porque o termo quadrático
virou a distância radial ao quadrado
. Esse tipo de argumento (substituir a coordenada que estava na direção do eixo de rotação pelo raio) é a técnica padrão para obter a equação de superfícies de revolução — memorizando isso, resolve muitos exercícios parecidos rapidinho.
Resposta
Superfície: paraboloide circular de revolução, vértice em
, com domínio
.