Calcule as integrais duplas:
\iint_{D}(x+y) d A, \quad D é a metade superior do círculo x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} (x+y)\,dA,
onde D é a metade superior do círculo x^{2}+y^{2}=9. Informações dadas e o que é pedido:
  • A região D é o disco de raio 3 centrado na origem, restrito à metade superior: isto é,
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9,\; y\ge 0\}.
  • A função a integrar é f(x,y)=x+y.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico da integral dupla \iint_{D}(x+y)\,dA.

Passo 2

Primeiro simplifico a integral separando-a em duas:
\iint_{D}(x+y)\,dA=\iint_{D} x\,dA + \iint_{D} y\,dA.
Essa separação é permitida porque a integral dupla é linear: integrar uma soma é a soma das integrais.

Passo 3

Vou analisar a primeira parcela \iint_{D} x\,dA usando simetria espacial. A região D é simétrica em relação ao eixo y: se (x,y)\in D então (-x,y)\in D. A função x é ímpar em relação a x: x+(-x)=0. Portanto os contributions de pares de pontos simétricos em D se cancelam, o que implica
\iint_{D} x\,dA = 0.
Explicando devagar: para cada coluna vertical com coordenada x_{0}>0 existe uma coluna simétrica em -x_{0} com o mesmo comprimento em y, e o valor da função x nessas duas colunas é x_{0} e -x_{0}, cuja soma é zero; assim a integral sobre todo o domínio da função x vale zero.

Passo 4

Restou então calcular apenas
\iint_{D} y\,dA.
Para integrar sobre uma região circular costuma ser muito conveniente usar coordenadas polares. Vou explicar as coordenadas polares e a fórmula de mudança de variável:
  • Em coordenadas polares usamos \;x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta\;, onde r\ge0 é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • O elemento de área em coordenadas polares é dA = r\,dr\,d\theta. Rigorosamente isso vem do Jacobiano da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y), cujo valor absoluto é r. Intuitivamente, um pequeno retângulo de lados dr e r\,d\theta tem área aproximada r\,dr\,d\theta.
  • Para a nossa região D (metade superior do círculo de raio 3) os parâmetros variam assim:
0\le r\le 3,\qquad 0\le \theta\le \pi,
pois \theta vai do eixo positivo x até o eixo negativo x passando pela metade superior.

Passo 5

Agora faço a mudança para coordenadas polares na integral de y:
\iint_{D} y\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{3} \bigl(r\sin\theta\bigr)\cdot r\,dr\,d\theta.
Aqui substituí y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta. Simplificando o integrando:
\iint_{D} y\,dA = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3} r^{2}\sin\theta \,dr\,d\theta.

Passo 6

A integral em r e \theta separa-se porque o integrando é produto de uma função só de r por uma função só de \theta. Primeiro integro em r:
\int_{0}^{3} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{3} = \frac{27}{3}=9.
Logo a integral fica
\iint_{D} y\,dA = \int_{0}^{\pi} 9\sin\theta \,d\theta = 9\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.
Calculo a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \left.-\cos\theta\right|_{0}^{\pi} = -\cos\pi - \bigl(-\cos 0\bigr) = -(-1) - (-1)=2.
Portanto
\iint_{D} y\,dA = 9\cdot 2 = 18.

Resposta

\;18

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