Essa separação é permitida porque a integral dupla é linear: integrar uma soma é a soma das integrais.
Passo 3
Vou analisar a primeira parcela \iint_{D} x\,dA usando simetria espacial. A região D é simétrica em relação ao eixo y: se (x,y)\in D então (-x,y)\in D. A função x é ímpar em relação a x: x+(-x)=0. Portanto os contributions de pares de pontos simétricos em D se cancelam, o que implica
\iint_{D} x\,dA = 0.
Explicando devagar: para cada coluna vertical com coordenada x_{0}>0 existe uma coluna simétrica em -x_{0} com o mesmo comprimento em y, e o valor da função x nessas duas colunas é x_{0} e -x_{0}, cuja soma é zero; assim a integral sobre todo o domínio da função x vale zero.
Passo 4
Restou então calcular apenas
\iint_{D} y\,dA.
Para integrar sobre uma região circular costuma ser muito conveniente usar coordenadas polares. Vou explicar as coordenadas polares e a fórmula de mudança de variável:
Em coordenadas polares usamos \;x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta\;, onde r\ge0 é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
O elemento de área em coordenadas polares é dA = r\,dr\,d\theta. Rigorosamente isso vem do Jacobiano da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y), cujo valor absoluto é r. Intuitivamente, um pequeno retângulo de lados dr e r\,d\theta tem área aproximada r\,dr\,d\theta.
Para a nossa região D (metade superior do círculo de raio 3) os parâmetros variam assim:
0\le r\le 3,\qquad 0\le \theta\le \pi,
pois \theta vai do eixo positivo x até o eixo negativo x passando pela metade superior.
Passo 5
Agora faço a mudança para coordenadas polares na integral de y: