Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x, y)=x y-2 x^{3}+y^{2}-1.

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem” da função
f(x,y)=x y-2 x^{3}+y^{2}-1.
Informações dadas:
  • A função de duas variáveis é f(x,y)=x y-2 x^{3}+y^{2}-1.
  • É necessário calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem ( \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}) e de segunda ordem ( \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}, e as mistas \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}).

Passo 2

Lembrete do conceito (passo-a-passo didático):
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, é a taxa de variação de f quando x varia e y é mantido constante. Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada mantendo x fixo.
  • Regras que vamos usar:
    • Regra da linearidade: a derivada parcial de uma soma é a soma das derivadas parciais.
    • Constante: se uma expressão não depende da variável derivada, sua derivada parcial é 0.
    • Regra do fator constante: constante multiplicativa sai da derivada.
    • Regra da potência (aplicada a uma variável): \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Aplicamos essas regras termo a termo em f(x,y).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  • Derivada de x y em relação a x: aqui y é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(x y)=y.
  • Derivada de -2x^{3} em relação a x: usar regra da potência e fator constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(-2x^{3})=-2\cdot 3x^{2}=-6x^{2}.
  • Derivada de y^{2} em relação a x: y^{2} não depende de x, então é 0.
  • Derivada de -1 em relação a x: constante, então 0.
Somando termo a termo:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=y-6x^{2}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}:
  • Derivada de x y em relação a y: aqui x é constante, então \dfrac{\partial}{\partial y}(x y)=x.
  • Derivada de -2x^{3} em relação a y: não depende de y, então 0.
  • Derivada de y^{2} em relação a y: pela regra da potência, \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
  • Derivada de -1 em relação a y: 0.
Somando:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=x+2y.

Passo 5

Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Definições:
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right).
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
  • Derivadas mistas: \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right).
    Se as derivadas parciais de segunda ordem forem contínuas, vale \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} (teorema de Clairaut). Aqui as funções envolvidas são polinômios, então essa igualdade deve valer.

Passo 6

Calcular as segundas parciais a partir das primeiras:
  • Começando por \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}: derivar \dfrac{\partial f}{\partial x}=y-6x^{2} em relação a x.
    • Derivada de y em relação a x: 0 (pois y é tratado como constante).
    • Derivada de -6x^{2} em relação a x: -6\cdot 2x=-12x.
      Assim,
    \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-12x.
  • Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right): derivar \dfrac{\partial f}{\partial x}=y-6x^{2} em relação a y.
    • Derivada de y em relação a y: 1.
    • Derivada de -6x^{2} em relação a y: 0.
      Assim,
    \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=1.

Passo 7

Calcular as outras duas segundas parciais:
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!(x+2y):
    • Derivada de x em relação a y: 0.
    • Derivada de 2y em relação a y: 2.
      Assim,
    \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2.
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!(x+2y):
    • Derivada de x em relação a x: 1.
    • Derivada de 2y em relação a x: 0.
      Assim,
    \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=1.
Confirmando: \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=1, como esperado.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=y-6x^{2}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=x+2y
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-12x
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=1
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=1

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