Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
.
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem” da função
Informações dadas:
- A função de duas variáveis é
. - É necessário calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem (
, ) e de segunda ordem ( , , e as mistas , ).
Passo 2
Lembrete do conceito (passo-a-passo didático):
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , é a taxa de variação de quando varia e é mantido constante. Analogamente, é a derivada mantendo fixo. - Regras que vamos usar:
- Regra da linearidade: a derivada parcial de uma soma é a soma das derivadas parciais.
- Constante: se uma expressão não depende da variável derivada, sua derivada parcial é
. - Regra do fator constante: constante multiplicativa sai da derivada.
- Regra da potência (aplicada a uma variável):
.
- Aplicamos essas regras termo a termo em
.
Passo 3
Calcular
:
- Derivada de
em relação a : aqui é constante, então . - Derivada de
em relação a : usar regra da potência e fator constante, . - Derivada de
em relação a : não depende de , então é . - Derivada de
em relação a : constante, então .
Somando termo a termo:
Passo 4
Calcular
:
- Derivada de
em relação a : aqui é constante, então . - Derivada de
em relação a : não depende de , então . - Derivada de
em relação a : pela regra da potência, . - Derivada de
em relação a : .
Somando:
Passo 5
Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Definições:
-
. -
. - Derivadas mistas:
e .
Se as derivadas parciais de segunda ordem forem contínuas, vale(teorema de Clairaut). Aqui as funções envolvidas são polinômios, então essa igualdade deve valer.
Passo 6
Calcular as segundas parciais a partir das primeiras:
- Começando por
: derivar em relação a . - Derivada de
em relação a : (pois é tratado como constante). - Derivada de
em relação a : .
Assim,
- Derivada de
- Calcular
: derivar em relação a . - Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : .
Assim,
- Derivada de
Passo 7
Calcular as outras duas segundas parciais:
-
: - Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : .
Assim,
- Derivada de
-
: - Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : .
Assim,
- Derivada de
Confirmando:
, como esperado.