Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função:
Passo 1
O enunciado pede para determinar as assíntotas horizontais e verticais da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é dada por
. - O denominador é
, que é zero em . - O numerador é
, que está definido para todo e é sempre positivo.
As perguntas que preciso responder: - Quais são as assíntotas verticais (se houver)?
- Quais são as assíntotas horizontais (se houver)?
Passo 2
Conceito e teste para assíntota vertical (explicação didática).
- Definição prática: uma reta vertical
é assíntota vertical de se pelo menos uma das duas limites laterais ou é ou . - Como procurar: procurar pontos onde o denominador se anula (possível divisão por zero) e verificar os limites laterais ali.
Aplicando ao nosso caso:
- O denominador
zera em . Portanto é candidata a assíntota vertical. - Avaliar o numerador em
:
que é finito e diferente de zero. Isso indica que o comportamento infinito virá do denominador aproximando-se de zero.
Passo 3
Calcular os limites laterais em
(detalhando sinais).
- Para
temos pequeno e é positivo e próximo de . Logo
- Para
temos pequeno (negativo) e o numerador positivo, logo
Como pelo menos um dos limites laterais diverge (na verdade divergem com sinais opostos), concluímos que
é de fato uma assíntota vertical.
Passo 4
Verificar se existem outras assíntotas verticais.
- O denominador
é uma função linear e só zera em . Não há outros pontos onde a divisão falhe. Logo não há outras assíntotas verticais além de .
Passo 5
Conceito e método para assíntota horizontal (explicação didática).
- Definição prática: uma reta horizontal
é assíntota horizontal no infinito se ou/ e . - Para funções com radicais envolvendo
, útil usar a identidade e dividir numerador e denominador por ou por , tratando os sinais separadamente em e .
Observação importante (exemplo curto):
. Isso mostra que o comportamento para grandes
envolve o fator
.
Passo 6
Cálculo do limite quando
.
- Para
grande, . Escrever
Agora dividir numerador e denominador por
:
Tomando o limite
, os termos com
tendem a zero:
Portanto existe uma assíntota horizontal à direita e ela é
.
Passo 7
Cálculo do limite quando
.
- Para
grande em módulo, . Então
Assim
Dividindo numerador e denominador por
(note que
, mas a divisão algébrica vale), obtemos
Tomando o limite
, os termos com
vão a zero e ficamos com
Portanto existe uma assíntota horizontal à esquerda e ela é
.
Resposta
Vertical:
Horizontais:
(quando
)
(quando
)