Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função:
f(x)=\frac{\sqrt{64 x^{2}+1}}{2 x-4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as assíntotas horizontais e verticais da função
f(x)=\frac{\sqrt{64x^{2}+1}}{2x-4}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é dada por \,f(x)=\dfrac{\sqrt{64x^{2}+1}}{2x-4}\,.
  • O denominador é 2x-4, que é zero em x=2.
  • O numerador é \sqrt{64x^{2}+1}, que está definido para todo x e é sempre positivo.
    As perguntas que preciso responder:
  • Quais são as assíntotas verticais (se houver)?
  • Quais são as assíntotas horizontais (se houver)?

Passo 2

Conceito e teste para assíntota vertical (explicação didática).
  • Definição prática: uma reta vertical x=a é assíntota vertical de f se pelo menos uma das duas limites laterais \lim_{x\to a^-}f(x) ou \lim_{x\to a^+}f(x) é +\infty ou -\infty.
  • Como procurar: procurar pontos onde o denominador se anula (possível divisão por zero) e verificar os limites laterais ali.
Aplicando ao nosso caso:
  • O denominador 2x-4 zera em x=2. Portanto x=2 é candidata a assíntota vertical.
  • Avaliar o numerador em x=2:
\sqrt{64\cdot 2^{2}+1}=\sqrt{64\cdot 4+1}=\sqrt{256+1}=\sqrt{257},
que é finito e diferente de zero. Isso indica que o comportamento infinito virá do denominador aproximando-se de zero.

Passo 3

Calcular os limites laterais em x=2 (detalhando sinais).
  • Para x\to 2^{+} temos 2x-4>0 pequeno e \sqrt{64x^{2}+1} é positivo e próximo de \sqrt{257}. Logo
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{\sqrt{64x^{2}+1}}{2x-4}=+\infty.
  • Para x\to 2^{-} temos 2x-4<0 pequeno (negativo) e o numerador positivo, logo
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{-}}\frac{\sqrt{64x^{2}+1}}{2x-4}=-\infty.
Como pelo menos um dos limites laterais diverge (na verdade divergem com sinais opostos), concluímos que x=2 é de fato uma assíntota vertical.

Passo 4

Verificar se existem outras assíntotas verticais.
  • O denominador 2x-4 é uma função linear e só zera em x=2. Não há outros pontos onde a divisão falhe. Logo não há outras assíntotas verticais além de x=2.

Passo 5

Conceito e método para assíntota horizontal (explicação didática).
  • Definição prática: uma reta horizontal y=L é assíntota horizontal no infinito se \lim_{x\to+\infty} f(x)=L ou/ e \lim_{x\to-\infty} f(x)=L.
  • Para funções com radicais envolvendo x^{2}, útil usar a identidade \sqrt{x^{2}}=|x| e dividir numerador e denominador por |x| ou por x, tratando os sinais separadamente em x\to+\infty e x\to-\infty.
Observação importante (exemplo curto): \sqrt{64x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}}\sqrt{64+1/x^{2}}=|x|\sqrt{64+1/x^{2}}. Isso mostra que o comportamento para grandes |x| envolve o fator |x|.

Passo 6

Cálculo do limite quando x\to+\infty.
  • Para x>0 grande, |x|=x. Escrever
f(x)=\frac{\sqrt{64x^{2}+1}}{2x-4}=\frac{x\sqrt{64+1/x^{2}}}{2x-4}.
Agora dividir numerador e denominador por x:
f(x)=\frac{\sqrt{64+1/x^{2}}}{2-4/x}.
Tomando o limite x\to+\infty, os termos com 1/x tendem a zero:
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\frac{\sqrt{64+0}}{2-0}=\frac{8}{2}=4.
Portanto existe uma assíntota horizontal à direita e ela é y=4.

Passo 7

Cálculo do limite quando x\to-\infty.
  • Para x<0 grande em módulo, |x|=-x. Então
\sqrt{64x^{2}+1}=|x|\sqrt{64+1/x^{2}}=(-x)\sqrt{64+1/x^{2}}.
Assim
f(x)=\frac{(-x)\sqrt{64+1/x^{2}}}{2x-4}.
Dividindo numerador e denominador por x (note que x<0, mas a divisão algébrica vale), obtemos
f(x)=\frac{-\sqrt{64+1/x^{2}}}{2-4/x}.
Tomando o limite x\to -\infty, os termos com 1/x vão a zero e ficamos com
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\frac{-\sqrt{64+0}}{2-0}=\frac{-8}{2}=-4.
Portanto existe uma assíntota horizontal à esquerda e ela é y=-4.

Resposta

Vertical: x=2
Horizontais: y=4 (quando x\to+\infty)
y=-4 (quando x\to-\infty)

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