Calcule a integral de linha \int_{C} x d s, onde C é o segmento de reta que liga (0,0) a (1,-1).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} x\,d s, onde C é o segmento de reta que liga os pontos (0,0) e (1,-1).
Informações dadas:
A curva C é o segmento de reta entre (0,0) e (1,-1).
A função escalar a integrar ao longo de C é f(x,y)=x.
O elemento de comprimento de arco é d s.
O que se quer: o valor numérico da integral de linha \displaystyle \int_{C} x\,d s.
Passo 2
Escolher uma parametrização conveniente para o segmento de reta.
Para um segmento entre (x_0,y_0)=(0,0) e (x_1,y_1)=(1,-1) a parametrização afim mais simples é
Multiplicando por \sqrt{2} obtém-se o valor da integral:
\int_{C} x\,d s = \sqrt{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Passo 6
Interpretação rápida e dica para a prova: a integral \int_{C} x\,d s mede, de forma informal, a “média ponderada” da coordenada x ao longo do comprimento do segmento. Para segmentos retos simples, parametrizar linearmente como \mathbf{r}(t)= (x_0+t(x_1-x_0),\, y_0+t(y_1-y_0)) e usar \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert constante torna tudo direto — depois é só integrar um polinômio simples.