Calcule a integral de linha \int_{C} x d s, onde C é o segmento de reta que liga (0,0) a (1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} x\,d s, onde C é o segmento de reta que liga os pontos (0,0) e (1,-1).
Informações dadas:
  • A curva C é o segmento de reta entre (0,0) e (1,-1).
  • A função escalar a integrar ao longo de C é f(x,y)=x.
  • O elemento de comprimento de arco é d s.
O que se quer: o valor numérico da integral de linha \displaystyle \int_{C} x\,d s.

Passo 2

Escolher uma parametrização conveniente para o segmento de reta.
Para um segmento entre (x_0,y_0)=(0,0) e (x_1,y_1)=(1,-1) a parametrização afim mais simples é
\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t)) = (0,0) + t\big((1,-1)-(0,0)\big) = (t,-t),
com t variando em [0,1].
Aqui t=0 corresponde a (0,0) e t=1 corresponde a (1,-1).

Passo 3

Relembrando a fórmula prática para integrar uma função escalar f(x,y) ao longo de uma curva parametrizada \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b]:
\int_{C} f(x,y)\,d s = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert \,dt.
Aqui:
  • f(x,y) é a função escalar a integrar (no nosso caso f(x,y)=x);
  • \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada da parametrização;
  • \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert = \sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade (módulo da derivada), que multiplica dt para dar d s.

Passo 4

Aplicar essa fórmula com a parametrização \mathbf{r}(t)=(t,-t), t\in[0,1].
Primeiro, a função ao longo da parametrização é
f\big(x(t),y(t)\big)=x(t)=t.
A derivada da parametrização é
\mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,-1).
O módulo (velocidade) é
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert = \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}.
Portanto o integrando fica t\cdot\sqrt{2}.

Passo 5

Montar e calcular a integral:
\int_{C} x\,d s = \int_{0}^{1} t\cdot\sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\int_{0}^{1} t\,dt.
Agora integrar \int_{0}^{1} t\,dt:
\int_{0}^{1} t\,dt = \left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-0 = \frac{1}{2}.
Multiplicando por \sqrt{2} obtém-se o valor da integral:
\int_{C} x\,d s = \sqrt{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para a prova: a integral \int_{C} x\,d s mede, de forma informal, a “média ponderada” da coordenada x ao longo do comprimento do segmento. Para segmentos retos simples, parametrizar linearmente como \mathbf{r}(t)= (x_0+t(x_1-x_0),\, y_0+t(y_1-y_0)) e usar \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert constante torna tudo direto — depois é só integrar um polinômio simples.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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