Calcule as integrais duplas.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \frac{x e^{x}}{y} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}\frac{x\,e^{x}}{y}\,dy\,dx.
O conteúdo envolvido é integração dupla e, em particular, avaliamos primeiro a integral interna em y. Note que a função \frac{1}{y} é singular em y=0, então teremos uma integral imprópria.

Passo 2

Escrevemos a integral interna tirando x e^{x} como constante em relação a y:
\int_{0}^{2}\frac{x\,e^{x}}{y}\,dy = x\,e^{x}\int_{0}^{2}\frac{1}{y}\,dy.

Passo 3

Analisamos agora a integral imprópria
\int_{0}^{2}\frac{1}{y}\,dy =\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\int_{\varepsilon}^{2}\frac{1}{y}\,dy =\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\bigl[\ln(y)\bigr]_{\varepsilon}^{2} =\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\bigl(\ln(2)-\ln(\varepsilon)\bigr).
Como \ln(\varepsilon)\to -\infty quando \varepsilon\to0^{+}, esse limite diverge para +\infty.

Passo 4

Visto que a integral interna em y já diverge para +\infty, a integral dupla original
\int_{0}^{1}\!\Bigl(x\,e^{x}\!\int_{0}^{2}\frac{1}{y}\,dy\Bigr)\,dx
não se torna finita (multiplicar por x e^{x} — que é finito em [0,1] — não remove a divergência).

Resposta

A integral diverge (não é finita).

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