Calcule as integrais duplas.
\int_{0}^{4} \int_{0}^{2}\left(6 x^{2}-2 x\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{4}\int_{0}^{2}\bigl(6x^{2}-2x\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é integração dupla num retângulo e uso do Teorema de Fubini, já que a função é contínua e independe de y.

Passo 2

Calculamos primeiro a integral interna em y. Como o integrando não depende de y, temos
\int_{0}^{2}\bigl(6x^{2}-2x\bigr)\,dy =(6x^{2}-2x)\int_{0}^{2}dy =(6x^{2}-2x)\cdot 2 =12x^{2}-4x.

Passo 3

Substituímos esse resultado na integral externa, obtendo
\int_{0}^{4}\bigl(12x^{2}-4x\bigr)\,dx.

Passo 4

Para calcular essa integral, achamos a antiderivada de 12x^{2}-4x:
\int(12x^{2}-4x)\,dx =12\int x^{2}\,dx-4\int x\,dx =12\cdot\frac{x^{3}}{3}-4\cdot\frac{x^{2}}{2} =4x^{3}-2x^{2}.
Avaliando de 0 a 4:
\bigl(4\cdot4^{3}-2\cdot4^{2}\bigr)-\bigl(4\cdot0^{3}-2\cdot0^{2}\bigr) =256-32 =224.

Resposta

224

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