Calcule as integrais duplas.
\int_{0}^{4} \int_{0}^{4} \sqrt{s+t} d s d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{t=0}^{4}\int_{s=0}^{4}\sqrt{s+t}\,ds\,dt.
O conteúdo aqui é integração iterada (Teorema de Fubini) de uma função contínua sobre um retângulo. Podemos integrar primeiro em s e depois em t.

Passo 2

Integramos em s, tratando t como constante:
\int_{s=0}^{4}\sqrt{s+t}\,ds.
Fazendo a troca de variável u=s+t, temos du=ds, e quando s=0 então u=t, e quando s=4 então u=t+4. Logo,
\int_{s=0}^{4}\sqrt{s+t}\,ds =\int_{u=t}^{t+4}u^{1/2}\,du =\Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{u=t}^{u=t+4} =\tfrac{2}{3}\bigl((t+4)^{3/2}-t^{3/2}\bigr).

Passo 3

Substituímos esse resultado na integral em t:
\int_{t=0}^{4}\int_{s=0}^{4}\sqrt{s+t}\,ds\,dt =\int_{t=0}^{4}\tfrac{2}{3}\bigl((t+4)^{3/2}-t^{3/2}\bigr)\,dt =\tfrac{2}{3}\Bigl[\int_{0}^{4}(t+4)^{3/2}dt-\int_{0}^{4}t^{3/2}dt\Bigr].

Passo 4

Calculamos separadamente cada integral:
  1. Para \displaystyle\int_{0}^{4}(t+4)^{3/2}dt, use v=t+4, então
\int_{0}^{4}(t+4)^{3/2}dt =\int_{v=4}^{8}v^{3/2}dv =\Bigl[\tfrac{2}{5}v^{5/2}\Bigr]_{4}^{8} =\tfrac{2}{5}\bigl(8^{5/2}-4^{5/2}\bigr) =\tfrac{2}{5}\bigl(128\sqrt2-32\bigr).
  1. Para \displaystyle\int_{0}^{4}t^{3/2}dt,
\int_{0}^{4}t^{3/2}dt =\Bigl[\tfrac{2}{5}t^{5/2}\Bigr]_{0}^{4} =\tfrac{2}{5}\cdot4^{5/2} =\tfrac{2}{5}\cdot32.
Então
\int_{0}^{4}(t+4)^{3/2}dt-\int_{0}^{4}t^{3/2}dt =\tfrac{2}{5}\bigl(128\sqrt2-32\bigr)-\tfrac{2}{5}\cdot32 =\tfrac{2}{5}\bigl(128\sqrt2-64\bigr) =\tfrac{256\sqrt2-128}{5}.

Passo 5

Multiplicando pelo fator \tfrac{2}{3} do Passo 3, obtemos
\int_{0}^{4}\int_{0}^{4}\sqrt{s+t}\,ds\,dt =\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{256\sqrt2-128}{5} =\frac{512\sqrt2-256}{15} =\frac{256\bigl(2\sqrt2-1\bigr)}{15}.

Resposta

\frac{256\bigl(2\sqrt2-1\bigr)}{15}.

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