Questão Bônus 1) (1,0) Verifique se o limite abaixo existe ou não. Justifique.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 y^{2} x^{3}}{4 x^{3}-2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3\,y^{2}\,x^{3}}{4\,x^{3}-2\,y^{2}}
existe.
Conteúdo: limites de funções de duas variáveis e uso de coordenadas polares para investigar comportamento radial.

Passo 2

Fazemos a mudança para coordenadas polares usual:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
onde (r,\theta)\to(0,\theta) representa (x,y)\to(0,0). Substituindo:
\text{numerador} = 3\,(r\sin\theta)^{2}\,(r\cos\theta)^{3} =3\,r^{5}\cos^{3}\theta\,\sin^{2}\theta,
\text{denominador} =4\,(r\cos\theta)^{3}-2\,(r\sin\theta)^{2} = r^{2}\bigl(4\,r\cos^{3}\theta -2\,\sin^{2}\theta\bigr).
Logo a função vira
\frac{3\,y^{2}\,x^{3}}{4\,x^{3}-2\,y^{2}} =\frac{3\,r^{5}\cos^{3}\theta\,\sin^{2}\theta} {r^{2}\bigl(4\,r\cos^{3}\theta -2\,\sin^{2}\theta\bigr)} = r^{3}\,\frac{3\,\cos^{3}\theta\,\sin^{2}\theta} {4\,r\cos^{3}\theta -2\,\sin^{2}\theta}.

Passo 3

Observe que, para \theta tal que \sin\theta\neq0, ao fazer r\to0 o fator
\frac{3\,\cos^{3}\theta\,\sin^{2}\theta}{4\,r\cos^{3}\theta -2\,\sin^{2}\theta} \;\longrightarrow\; \frac{3\,\cos^{3}\theta\,\sin^{2}\theta}{-2\,\sin^{2}\theta} =-\tfrac32\,\cos^{3}\theta,
que é finito. Portanto
\frac{3\,y^{2}\,x^{3}}{4\,x^{3}-2\,y^{2}} = r^{3}\bigl(\text{termo\,limitado}\bigr) \;\longrightarrow\;0.
Se \sin\theta=0 (ou seja y=0), a fração é zero imediatamente. Logo, em qualquer direção o valor tende a zero.

Resposta

O limite existe e vale
0.

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