Calcule as integrais duplas.
int_{1}^{4} \int_{0}^{2}\left(6 x^{2}-2 x\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{1}^{4} \int_{0}^{2} \left(6x^{2}-2x\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
\;x varia de \;1 até \;4.
\;y varia de \;0 até \;2.
A função integranda é \;6x^{2}-2x, que depende apenas de \;x (não depende de \;y).

Passo 2

Conceito importante: uma integral dupla iterada sobre um retângulo pode ser calculada integrando primeiro em uma variável e depois na outra. Ou seja,
\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\,dx
significa que, para cada x fixo, calculamos \int_{c}^{d} f(x,y)\,dy (tratando x como constante), e só depois integramos o resultado em x de a a b.
Como a integranda \;6x^{2}-2x não depende de \;y, a integral interna em \;y vai simplesmente multiplicar essa expressão pelo comprimento do intervalo em \;y, que é d-c.

Passo 3

Calcule a integral interna em \;y:
\int_{0}^{2} \left(6x^{2}-2x\right)\,dy.
Aqui x é constante em relação a y, logo
\int_{0}^{2} \left(6x^{2}-2x\right)\,dy = \left(6x^{2}-2x\right)\cdot\bigl[y\bigr]_{0}^{2}.

Passo 4

Avalie \bigl[y\bigr]_{0}^{2}:
\bigl[y\bigr]_{0}^{2} = 2-0 = 2.
Portanto a integral interna é
\left(6x^{2}-2x\right)\cdot 2 = 12x^{2}-4x.

Passo 5

Agora restou integrar em \;x de \;1 a \;4:
\int_{1}^{4} \left(12x^{2}-4x\right)\,dx.
Para integrar polinômios usamos a regra da potência: \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Aplicando termo a termo:
\int 12x^{2}\,dx = 12\cdot\frac{x^{3}}{3}=4x^{3},
\int -4x\,dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2}=-2x^{2}.
Logo uma primitiva é
F(x)=4x^{3}-2x^{2}.

Passo 6

Avalie F(x) nos limites 1 e 4:
F(4)=4\cdot 4^{3}-2\cdot 4^{2}=4\cdot 64 -2\cdot 16=256-32=224,
F(1)=4\cdot 1^{3}-2\cdot 1^{2}=4-2=2.
Subtraindo:
\int_{1}^{4} \left(12x^{2}-4x\right)\,dx = F(4)-F(1)=224-2=222.

Resposta

222

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