Calcule as integrais duplas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações relevantes:
- Os limites internos são
indo de a . - Os limites externos são
indo de a . - A função integranda é
, que é soma de dois termos: um que depende só de e outro que é produto de função de e função de . - A integral está escrita como integral iterada
, então primeiro vamos integrar em (mantendo fixo) e depois em .
Passo 2
Conceitos úteis (rapidinho e prático):
- Linearidade da integral:
e para constante . - Se uma expressão não depende da variável de integração, ela pode ser tratada como constante dentro dessa integral.
Aplicando isso à integral interna em,
Aqui, ao integrar em
,
e
são constantes.
Passo 3
Calcule cada parcela da integral interna:
- Para
: como é constante em relação a ,
- Para
: é constante, e a primitiva de é , então
Passo 4
Somando as duas parcelas da integral interna obtemos a integral reduzida em
:
Portanto a integral dupla original vira a integral simples
Passo 5
Agora integramos em
. Observação útil (economiza conta!): a função
é ímpar (pois
) e o intervalo de integração é simétrico
; a integral de uma função ímpar em intervalo simétrico é zero. Já
é par, então sua integral sobre
é
vezes a integral de
a
. Vamos calcular diretamente:
Passo 6
Somando as contribuições obtidas:
- da parte linear em
veio , - da parte
veio .
Logo a integral total (sem declarar a resposta final aqui, estou só juntando as peças) é.