Calcule as integrais duplas.
int_{-3}^{3} \int_{0}^{\pi / 2}\left(y+y^{2} \cos (x)\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{-3}^{3}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(y+y^{2}\cos x\bigr)\,dx\,dy.
Informações relevantes:
  • Os limites internos são x indo de 0 a \pi/2.
  • Os limites externos são y indo de -3 a 3.
  • A função integranda é \;y + y^{2}\cos x\;, que é soma de dois termos: um que depende só de y e outro que é produto de função de y e função de x.
  • A integral está escrita como integral iterada \int_{y}\int_{x} (\cdot)\,dx\,dy, então primeiro vamos integrar em x (mantendo y fixo) e depois em y.

Passo 2

Conceitos úteis (rapidinho e prático):
  • Linearidade da integral: \int (f+g)=\int f+\int g e \int c\cdot f = c\int f para constante c.
  • Se uma expressão não depende da variável de integração, ela pode ser tratada como constante dentro dessa integral.
    Aplicando isso à integral interna em x,
\int_{0}^{\pi/2}\bigl(y+y^{2}\cos x\bigr)\,dx = \int_{0}^{\pi/2} y\,dx \;+\; \int_{0}^{\pi/2} y^{2}\cos x\,dx.
Aqui, ao integrar em x, y e y^{2} são constantes.

Passo 3

Calcule cada parcela da integral interna:
  1. Para \int_{0}^{\pi/2} y\,dx: como y é constante em relação a x,
\int_{0}^{\pi/2} y\,dx = y \int_{0}^{\pi/2} 1\,dx = y\bigl[x\bigr]_{0}^{\pi/2} = y\cdot\frac{\pi}{2}.
  1. Para \int_{0}^{\pi/2} y^{2}\cos x\,dx: y^{2} é constante, e a primitiva de \cos x é \sin x, então
\int_{0}^{\pi/2} y^{2}\cos x\,dx = y^{2}\bigl[\sin x\bigr]_{0}^{\pi/2} = y^{2}\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin 0\bigr) = y^{2}(1-0)=y^{2}.

Passo 4

Somando as duas parcelas da integral interna obtemos a integral reduzida em y:
\int_{0}^{\pi/2}\bigl(y+y^{2}\cos x\bigr)\,dx = \frac{\pi}{2}\,y + y^{2}.
Portanto a integral dupla original vira a integral simples
\int_{-3}^{3}\left(\frac{\pi}{2}\,y + y^{2}\right)\,dy.

Passo 5

Agora integramos em y. Observação útil (economiza conta!): a função y\mapsto \frac{\pi}{2}y é ímpar (pois (\pi/2)(-y)=-(\pi/2)y) e o intervalo de integração é simétrico [-3,3]; a integral de uma função ímpar em intervalo simétrico é zero. Já y^{2} é par, então sua integral sobre [-3,3] é 2 vezes a integral de 0 a 3. Vamos calcular diretamente:
\int_{-3}^{3}\frac{\pi}{2}\,y\,dy = \frac{\pi}{2}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{-3}^{3} = \frac{\pi}{2}\left(\frac{9}{2}-\frac{9}{2}\right)=0,
\int_{-3}^{3} y^{2}\,dy = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{-3}^{3} = \frac{27}{3}-\frac{-27}{3}=9-(-9)=18.

Passo 6

Somando as contribuições obtidas:
  • da parte linear em y veio 0,
  • da parte y^{2} veio 18.
    Logo a integral total (sem declarar a resposta final aqui, estou só juntando as peças) é 0 + 18.

Resposta

18

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