Calcule as integrais duplas.
int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi}\left(x \operatorname{sen}^{2}(y)\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi}\left(x\,\operatorname{sen}^{2}(y)\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites externos são x de 0 a 2.
  • Os limites internos são y de 0 a \pi.
  • A função integranda é x\operatorname{sen}^{2}(y), que depende de x e y.
    Pergunta explícita: calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Observação importante sobre a integranda: ela é um produto de uma função de x pelo quadrado de uma função de y. Em notação mais usual, \operatorname{sen}(y)=\sin(y), então a integranda pode ser vista como x\cdot \sin^{2}(y). Quando a função se separa dessa forma (produto de uma função só de x por uma função só de y) sobre um retângulo de integração, podemos tratar a integração de forma iterada e até fatorar constantes: ao integrar em y a expressão x\sin^{2}(y), o x pode ser tratado como constante em relação a y. Vou usar isso para simplificar o cálculo passo a passo.

Passo 3

Calcule a integral interna (em y) primeiro, mantendo x fixo:
\int_{0}^{\pi} x\,\sin^{2}(y)\,dy = x \int_{0}^{\pi} \sin^{2}(y)\,dy,
pois x é constante quando se integra em y. Agora calculamos \int_{0}^{\pi}\sin^{2}(y)\,dy.
Usamos a identidade trigonométrica de redução:
\sin^{2}(y)=\frac{1-\cos(2y)}{2}.
Portanto,
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}(y)\,dy = \int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2y)}{2}\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,dy - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(2y)\,dy.
Calcule cada termo separadamente:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,dy = \frac{1}{2}\big[y\big]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}\pi.
E
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(2y)\,dy = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin(2y)}{2}\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{4}\big(\sin(2\pi)-\sin(0)\big)=\frac{1}{4}(0-0)=0.
Logo
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}(y)\,dy = \frac{\pi}{2}.
Substituindo de volta, a integral interna vale
\int_{0}^{\pi} x\,\sin^{2}(y)\,dy = x\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi x}{2}.

Passo 4

Agora integramos o resultado em x nos limites externos:
\int_{0}^{2}\left(\frac{\pi x}{2}\right)\,dx = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{2}x\,dx.
Calcule \int_{0}^{2}x\,dx:
\int_{0}^{2}x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-0 = \frac{4}{2}=2.
Portanto
\frac{\pi}{2}\int_{0}^{2}x\,dx = \frac{\pi}{2}\cdot 2 = \pi.

Passo 5

Verificação alternativa (trocar a ordem das integrais): se integrássemos primeiro em x,
\int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{2} x\,dx\right)\sin^{2}(y)\,dy = \int_{0}^{\pi} \left[ \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}\sin^{2}(y)\,dy = \int_{0}^{\pi} 2\,\sin^{2}(y)\,dy = 2\cdot\frac{\pi}{2} = \pi.
Fica claro que a troca de ordem dá o mesmo resultado, como era de esperar.

Passo 6

Resumo pedagógico rápido: a chave foi reconhecer que a integranda se separa em x vezes função de y, permitir puxar x para fora da integral em y, usar a identidade \sin^{2}(y)=(1-\cos(2y))/2 para integrar \sin^{2}, e por fim integrar um polinômio simples em x. Você já chega na prova sabendo o caminho — é direto e rápido. Força: você consegue!

Resposta

\pi

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