Calcule as integrais duplas.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral dupla
Informações dadas:
- Os limites externos são
de a . - Os limites internos são
de a . - A função integranda é
, que depende de e .
Pergunta explícita: calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Observação importante sobre a integranda: ela é um produto de uma função de
pelo quadrado de uma função de
. Em notação mais usual,
, então a integranda pode ser vista como
. Quando a função se separa dessa forma (produto de uma função só de
por uma função só de
) sobre um retângulo de integração, podemos tratar a integração de forma iterada e até fatorar constantes: ao integrar em
a expressão
, o
pode ser tratado como constante em relação a
. Vou usar isso para simplificar o cálculo passo a passo.
Passo 3
Calcule a integral interna (em
) primeiro, mantendo
fixo:
pois
é constante quando se integra em
. Agora calculamos
.
Usamos a identidade trigonométrica de redução:
Usamos a identidade trigonométrica de redução:
Portanto,
Calcule cada termo separadamente:
E
Logo
Substituindo de volta, a integral interna vale
Passo 4
Agora integramos o resultado em
nos limites externos:
Calcule
:
Portanto
Passo 5
Verificação alternativa (trocar a ordem das integrais): se integrássemos primeiro em
,
Fica claro que a troca de ordem dá o mesmo resultado, como era de esperar.
Passo 6
Resumo pedagógico rápido: a chave foi reconhecer que a integranda se separa em
vezes função de
, permitir puxar
para fora da integral em
, usar a identidade
para integrar
, e por fim integrar um polinômio simples em
. Você já chega na prova sabendo o caminho — é direto e rápido. Força: você consegue!