Calcule a integral dupla;
iint_{D}\left(y^{2}\right) d A em que D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:-1 \leq y \leq 1,-y-2 \leq x \leq y\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \left(y^{2}\right)\,dA
onde o domínio D é dado por
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : -1\le y\le 1,\; -y-2 \le x \le y\}.
Informações relevantes que temos:
  • O integrando é y^{2}.
  • A variável y varia entre -1 e 1.
  • Para cada y fixo, a variável x varia de -y-2 até y.

Passo 2

Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada na ordem dx\,dy usando os limites fornecidos:
\iint_{D} y^{2}\,dA = \int_{y=-1}^{1}\left(\int_{x=-y-2}^{y} y^{2}\,dx\right)dy.
Aqui a notação significa: para cada y (entre -1 e 1) integramos em x de -y-2 até y, e depois integramos o resultado em y.

Passo 3

Observe que, dentro da integral interna, y^{2} é tratado como constante em relação a x (porque só depende de y). Logo podemos calcular a integral interna diretamente:
\int_{x=-y-2}^{y} y^{2}\,dx = y^{2}\cdot\bigl(x\bigr)\Big|_{x=-y-2}^{x=y}.
Isto é, multiplicamos y^{2} pela largura do intervalo em x.

Passo 4

Calcule a largura do intervalo em x:
x\Big|_{-y-2}^{y} = y - (-y-2) = y + y + 2 = 2y+2.
Portanto a integral interna fica
\int_{-y-2}^{y} y^{2}\,dx = y^{2}(2y+2).

Passo 5

Simplificamos a expressão obtida:
y^{2}(2y+2) = 2y^{3} + 2y^{2} = 2\bigl(y^{3}+y^{2}\bigr).
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral em y:
\iint_{D} y^{2}\,dA = \int_{-1}^{1} \bigl(2y^{3}+2y^{2}\bigr)\,dy.

Passo 6

Agora calculamos a primitiva termo a termo. As primitivas são:
\int 2y^{3}\,dy = 2\cdot\frac{y^{4}}{4} = \frac{1}{2}y^{4}, \qquad \int 2y^{2}\,dy = 2\cdot\frac{y^{3}}{3} = \frac{2}{3}y^{3}.
Portanto uma primitiva para 2y^{3}+2y^{2} é
F(y)=\frac{1}{2}y^{4}+\frac{2}{3}y^{3}.

Passo 7

Avalie F(y) nos limites y=-1 e y=1:
F(1)=\frac{1}{2}\cdot 1^{4}+\frac{2}{3}\cdot 1^{3}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{3+4}{6}=\frac{7}{6},
F(-1)=\frac{1}{2}\cdot(-1)^{4}+\frac{2}{3}\cdot(-1)^{3}=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=\frac{3-4}{6}=-\frac{1}{6}.
Subtraindo:
F(1)-F(-1)=\frac{7}{6}-\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.

Passo 8

Concluímos que o valor da integral dupla é \dfrac{4}{3}.

Resposta

\dfrac{4}{3}

Exercícios relacionados