Calcule as integrais duplas:
int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x}(1+2 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{x}(1+2y)\,dy\,dx.
Informações dadas e limites:
\;x varia de \;0 a \;1.
Para cada x fixo, \;y varia de \;y=x^{2} até \;y=x.
A ordem de integração é primeiro em y (interna) e depois em x (externa).

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em y:
\int_{x^{2}}^{x}(1+2y)\,dy.
Explicação da primitiva: a integral de \;1 em y é \;y. A integral de \;2y em y usa a regra da potência: \int y\,dy = \tfrac{y^{2}}{2}, multiplicando por 2 \;y^{2}. Portanto uma primitiva de \;1+2y é
y+y^{2}.

Passo 3

Avalio a primitiva entre os limites y=x^{2} e y=x:
\left[y+y^{2}\right]_{y=x^{2}}^{y=x} = (x+x^{2}) - (x^{2}+x^{4}).
Agora simplifico a expressão:
(x+x^{2}) - (x^{2}+x^{4}) = x - x^{4}.

Passo 4

Agora a integral dupla ficou reduzida a uma integral simples em x:
\int_{0}^{1}(x - x^{4})\,dx.
Calculo as primitivas termo a termo usando a regra da potência: \int x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2} e \int x^{4}\,dx = \tfrac{x^{5}}{5}. Assim
\int_{0}^{1}(x - x^{4})\,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2} - \tfrac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1}.

Passo 5

Avalio nos limites:
\left(\tfrac{1^{2}}{2} - \tfrac{1^{5}}{5}\right) - \left(\tfrac{0^{2}}{2} - \tfrac{0^{5}}{5}\right) = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{5}.
Faço a subtração de frações: \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{5} = \tfrac{5}{10} - \tfrac{2}{10} = \tfrac{3}{10}.

Resposta

\tfrac{3}{10}

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