Calcule as integrais duplas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas e o que precisamos:
- A função integranda é
. - A ordem de integração é primeiro em
com limite inferior e superior , e depois em com limite inferior e superior . - Precisamos calcular a integral iterada e fornecer o valor numérico final.
Passo 2
Vamos calcular primeiro a integral interna em
, tratando
como constante. Escrevo a integral interna:
Fazer uma substituição simples facilita: defina
. Então
porque a derivada de
em relação a
é
e
é constante em relação a
. Os limites em
transformam-se assim:
- quando
, temos ; - quando
, temos .
Substituindo na integral interna:
Agora usamos a regra de potência para integrar
: uma antiderivada é
. Portanto:
Observe que
. Assim a expressão fica
Passo 3
Agora substituímos esse resultado na integral externa em
:
Coloco o fator
fora e separo em duas integrais:
A segunda integral é direta:
Passo 4
Para a primeira integral
fazemos a substituição
. Então
, ou seja
. Os limites em
de
a
correspondem a
de
a
. Portanto:
Calcule
. Podemos usar a regra de potência direto ou trocar a variável; é um caso padrão:
Assim
Passo 5
Voltando à expressão do Passo 3, temos as duas integrais avaliadas:
Somando:
Multiplicando pelo fator
que estava fora: