Calcule as integrais duplas.
int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left(x\left(y-x^{2}\right)^{4}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \left(x\left(y-x^{2}\right)^{4}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas e o que precisamos:
  • A função integranda é \;x\,(y-x^{2})^{4}\;.
  • A ordem de integração é primeiro em y com limite inferior 0 e superior 1, e depois em x com limite inferior 0 e superior 1.
  • Precisamos calcular a integral iterada e fornecer o valor numérico final.

Passo 2

Vamos calcular primeiro a integral interna em y, tratando x como constante. Escrevo a integral interna:
\int_{0}^{1} x\,(y-x^{2})^{4}\,dy.
Fazer uma substituição simples facilita: defina \;u = y - x^{2}\;. Então du = dy porque a derivada de y em relação a y é 1 e x^{2} é constante em relação a y. Os limites em y transformam-se assim:
  • quando y=0, temos u = 0 - x^{2} = -x^{2};
  • quando y=1, temos u = 1 - x^{2}.
Substituindo na integral interna:
\int_{0}^{1} x\,(y-x^{2})^{4}\,dy = x \int_{-x^{2}}^{\,1-x^{2}} u^{4}\,du.
Agora usamos a regra de potência para integrar u^{4}: uma antiderivada é \dfrac{u^{5}}{5}. Portanto:
x \int_{-x^{2}}^{\,1-x^{2}} u^{4}\,du = x\left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{u=-x^{2}}^{u=1-x^{2}} = \frac{x}{5}\left((1-x^{2})^{5} - (-x^{2})^{5}\right).
Observe que (-x^{2})^{5} = -x^{10}. Assim a expressão fica
\frac{x}{5}\left((1-x^{2})^{5} + x^{10}\right).

Passo 3

Agora substituímos esse resultado na integral externa em x:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} x\,(y-x^{2})^{4}\,dy\,dx = \int_{0}^{1} \frac{x}{5}\left((1-x^{2})^{5} + x^{10}\right)\,dx.
Coloco o fator 1/5 fora e separo em duas integrais:
\frac{1}{5}\left(\int_{0}^{1} x(1-x^{2})^{5}\,dx + \int_{0}^{1} x\cdot x^{10}\,dx\right).
A segunda integral é direta:
\int_{0}^{1} x\cdot x^{10}\,dx = \int_{0}^{1} x^{11}\,dx = \left[\frac{x^{12}}{12}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{12}.

Passo 4

Para a primeira integral \int_{0}^{1} x(1-x^{2})^{5}\,dx fazemos a substituição w = x^{2}. Então dw = 2x\,dx, ou seja x\,dx = \dfrac{dw}{2}. Os limites em x de 0 a 1 correspondem a w de 0 a 1. Portanto:
\int_{0}^{1} x(1-x^{2})^{5}\,dx = \int_{0}^{1} (1-w)^{5}\cdot \frac{dw}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1-w)^{5}\,dw.
Calcule \int_{0}^{1} (1-w)^{5}\,dw. Podemos usar a regra de potência direto ou trocar a variável; é um caso padrão:
\int_{0}^{1} (1-w)^{5}\,dw = \left[-\frac{(1-w)^{6}}{6}\right]_{0}^{1} = 0 - \left(-\frac{1^{6}}{6}\right) = \frac{1}{6}.
Assim
\int_{0}^{1} x(1-x^{2})^{5}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{12}.

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 3, temos as duas integrais avaliadas:
\int_{0}^{1} x(1-x^{2})^{5}\,dx = \frac{1}{12}, \qquad \int_{0}^{1} x^{11}\,dx = \frac{1}{12}.
Somando:
\int_{0}^{1} x(1-x^{2})^{5}\,dx + \int_{0}^{1} x^{11}\,dx = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{5} que estava fora:
\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{30}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{30}

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