Calcule as integrais duplas.
\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} x^{2} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx\,dy.
O conteúdo aqui é aplicação do teorema de Fubini para integrais iteradas e uso da paridade de funções (já que x^{2} é função par).

Passo 2

Primeiro calculamos a integral interna em x:
\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx.
Como x^{2} é par, vale
\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = 2\biggl[\frac{x^{3}}{3}\biggr]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

Passo 3

Agora a integral externa em y fica
\int_{-1}^{1}\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)\,dy
porque o resultado da interna é constante em y.

Passo 4

Calculamos
\int_{-1}^{1}dy = 2,
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\int_{-1}^{1}\frac{2}{3}\,dy = \frac{2}{3}\times 2 = \frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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