Calcule as integrais duplas.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x\,y\,dy\,dx.
Como os limites de integração em x e y formam um retângulo [0,1]\times[0,1] e o integrando é o produto x\,y, podemos fazer a integração iterada, tratando uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro integramos em y, considerando x constante:
\int_{0}^{1}x\,y\,dy = x\int_{0}^{1}y\,dy = x\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = x\cdot\frac{1}{2} = \frac{x}{2}.

Passo 3

Agora integramos o resultado em x:
\int_{0}^{1}\frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}x\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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