Calcule as integrais duplas.
\int_{1}^{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{1}^{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x}\cos y \,dy\,dx.
O conteúdo aqui é o de integrais iteradas e funções separáveis, pois o integrando f(x,y)= e^{x}\cos y pode ser escrito como g(x)\,h(y). Vamos primeiro integrar em y (integral interna) e depois em x (integral externa).

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x}\cos y \,dy.
Como e^{x} é constante em relação a y, fatoramos fora da integral:
e^{x}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos y \,dy =e^{x}\bigl[\sin y\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =e^{x}\bigl(\sin\tfrac{\pi}{2}-\sin0\bigr) =e^{x}\cdot1 =e^{x}.

Passo 3

Agora a integral externa em x fica
\int_{1}^{3} e^{x}\,dx.
A primitiva de e^{x} é e^{x}, logo
\int_{1}^{3} e^{x}\,dx =\bigl[e^{x}\bigr]_{1}^{3} =e^{3}-e^{1} =e^{3}-e.

Resposta

e^{3}-e.

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