Calcule as integrais duplas:
, onde é o conjunto

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaB e^x^2+y^2,dx,dy
onde B=(x,y)inR^2;;1<= x^2+y^2<=4,;-x<= y<= x.
Como o integrando e a parte radial da região são funções de r^2=x^2+y^2, vamos usar coordenadas polares e o jacobiano dx,dy=r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta.
A condição 1<= x^2+y^2<=4 vira 1<= r^2<=4, ou seja 1<= r<=2.
As desigualdades -x<= y<= x tornam-se
-rcostheta<= rsintheta<= rcostheta ;Longrightarrow; -costheta<=sintheta<=costheta
Para r>0 isso equivale a -pi/4<=theta<=pi/4.

Passo 3

Assim o integral fica
integral duplaB e^x^2+y^2,dx,dy =integraltheta=-pi/4^pi/4integralr=1^2e^r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro
integralr=1^2e^r^2,r,dr
Usando a substituição u=r^2 ou sabendo que
tfracddr(e^r^2)=2r,e^r^2, temos
integral r,e^r^2,dr =12e^r^2 Longrightarrow integral1^2r,e^r^2,dr =12l(e^4-e^1r) =12l(e^4-er)

Passo 5

Agora integramos em theta, sendo o integrando independente de theta:
integral-pi/4^pi/4dtheta =pi2

Passo 6

Multiplicando os resultados:
integral duplaBe^x^2+y^2,dx,dy =pi2times12l(e^4-er) =pi4l(e^4-er)

Resposta

pi4l(e^4-er)

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