Estude a convergência de cada uma das séries abaixo.
Passo 1
Estamos estudando a série alternante
. O conteúdo principal é o critério de Leibniz para séries alternantes (convergência condicional) e também a análise de convergência absoluta navegando no comportamento de
.
Passo 2
Definimos
. Primeiro, precisamos verificar que
. Como
(por divisão de crescimento polinomial por logarítmico), esse requisito do critério de Leibniz está OK.
Passo 3
Em seguida checamos a monotonicidade de
. Considere
. Calculando
, vemos que
para
. Logo, a partir de
, a sequência
é decrescente.
Passo 4
Como
, tende a zero e é decrescente a partir de um
, o critério de Leibniz garante que
converge. Portanto a série converge.
Passo 5
Para avaliar a convergência absoluta, analisamos
. Pelo teste da integral,
Passo 6
[
Passo 7
\displaystyle\int_{1}{\infty}\frac{\ln(x)}{x},dx=\frac{1}{2}(\ln(x))2\Big|_{1}^{\infty}=\infty,
Passo 8
],
Passo 9
essa série diverge. Assim, não há convergência absoluta, apenas convergência condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente (pelo critério de Leibniz) mas diverge absolutamente.