Estude a convergência de cada uma das séries abaixo.
sumn=1^infty(-1)^n-1 ln (n)n

Passo 1

Estamos estudando a série alternante sumn=1^infty(-1)^n-1ln(n)n. O conteúdo principal é o critério de Leibniz para séries alternantes (convergência condicional) e também a análise de convergência absoluta navegando no comportamento de sumln(n)n.

Passo 2

Definimos an = ln(n)n. Primeiro, precisamos verificar que anto0. Como limntoinftyln(n)n=0 (por divisão de crescimento polinomial por logarítmico), esse requisito do critério de Leibniz está OK.

Passo 3

Em seguida checamos a monotonicidade de an. Considere f(x)=ln(x)x. Calculando f'(x)=1-ln(x)x^2, vemos que f'(x)<0 para x>e. Logo, a partir de n>=3, a sequência an é decrescente.

Passo 4

Como an>0, tende a zero e é decrescente a partir de um n0, o critério de Leibniz garante que sum(-1)^n-1an converge. Portanto a série converge.

Passo 5

Para avaliar a convergência absoluta, analisamos sumn=1^infty|(-1)^n-1ln(n)n|=sumn=1^inftyln(n)n. Pelo teste da integral,

Passo 6

[

Passo 7

\displaystyle\int_{1}{\infty}\frac{\ln(x)}{x},dx=\frac{1}{2}(\ln(x))2\Big|_{1}^{\infty}=\infty,

Passo 8

],

Passo 9

essa série diverge. Assim, não há convergência absoluta, apenas convergência condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente (pelo critério de Leibniz) mas diverge absolutamente.

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