Esboce o gráfico de f, determine lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) e, caso exista, lim x a f(x).
f(x)=cx+2 , se x<-1 2 , se x=-1 x^2, se -1<x<1 -x+2, se x >= 1 (a=-1 e a=1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= x+2, & x<-1, 2, & x=-1, x^2, & -1<x<1, -x+2, & x>=1,
e pede o esboço do gráfico e os limites laterais em a=-1 e a=1, bem como, quando existir, o limite bilateral. Vamos usar conceitos de limites unilaterais em funções definidas por partes e discutir continuidade.

Passo 2

Para esboçar o gráfico, separemos em quatro trechos:
  1. Para x<-1, é a reta y=x+2. Em x=-1 essa reta atinge o ponto l(-1,1r), mas a deixamos como círculo aberto.
  2. Em x=-1, há um ponto isolado em l(-1,2r).
  3. Para -1<x<1, é a parábola y=x^2, com círculos abertos em (-1,1) e (1,1).
  4. Para x>=1, é a reta y=-x+2, que em x=1 fecha o ponto l(1,1r).

Passo 3

Calcular os limites em a=-1.
Aproximando por valores menores que -1, usamos f(x)=x+2, logo
limxto-1^-f(x)=(-1)+2=1
Aproximando por valores maiores que -1, usamos f(x)=x^2, então
limxto-1^+f(x)=(-1)^2=1
Como limxto-1^-f(x)=limxto-1^+f(x)=1, existe o limite bilateral e
limxto-1f(x)=1
Observe que f(-1)=2neq1, portanto há descontinuidade tipo salto removível.

Passo 4

Calcular os limites em a=1.
Pela esquerda, para x<1 usamos f(x)=x^2, daí
limxto1^-f(x)=1^2=1
Pela direita, para x>1 usamos f(x)=-x+2, logo
limxto1^+f(x)=-1+2=1
Como as duas iguais, o limite bilateral existe e vale
limxto1f(x)=1
Além disso, f(1)=-1+2=1, então f é contínua em x=1.

Resposta

limxto-1^-f(x)=1, limxto-1^+f(x)=1, limxto-1f(x)=1
limxto1^-f(x)=1, limxto1^+f(x)=1, limxto1f(x)=1

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