e pede o esboço do gráfico e os limites laterais em a=-1 e a=1, bem como, quando existir, o limite bilateral. Vamos usar conceitos de limites unilaterais em funções definidas por partes e discutir continuidade.
Passo 2
Para esboçar o gráfico, separemos em quatro trechos:
Para x<-1, é a reta y=x+2. Em x=-1 essa reta atinge o ponto l(-1,1r), mas a deixamos como círculo aberto.
Em x=-1, há um ponto isolado em l(-1,2r).
Para -1<x<1, é a parábola y=x^2, com círculos abertos em (-1,1) e (1,1).
Para x>=1, é a reta y=-x+2, que em x=1 fecha o ponto l(1,1r).
Passo 3
Calcular os limites em a=-1.
Aproximando por valores menores que -1, usamos f(x)=x+2, logo
limxto-1^-f(x)=(-1)+2=1
Aproximando por valores maiores que -1, usamos f(x)=x^2, então
limxto-1^+f(x)=(-1)^2=1
Como limxto-1^-f(x)=limxto-1^+f(x)=1, existe o limite bilateral e
limxto-1f(x)=1
Observe que f(-1)=2neq1, portanto há descontinuidade tipo salto removível.
Passo 4
Calcular os limites em a=1.
Pela esquerda, para x<1 usamos f(x)=x^2, daí
limxto1^-f(x)=1^2=1
Pela direita, para x>1 usamos f(x)=-x+2, logo
limxto1^+f(x)=-1+2=1
Como as duas iguais, o limite bilateral existe e vale
limxto1f(x)=1
Além disso, f(1)=-1+2=1, então f é contínua em x=1.