Calcule as integrais duplas.
integral duplaB x cos y d x d y, onde B=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= pi, 0 <= y <= x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=xcos y sobre o triângulo
B=(x,y)inR^2mid 0<= x<=pi,;0<= y<= x.
O conteúdo é integração iterada em coordenadas cartesianas, usando ordem dy,dx.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada em y de 0 a x e em x de 0 a pi:
integral duplaBxcos y,dx,dy =integralx=0^pil(integraly=0^xxcos y,dyr)dx

Passo 3

Para a integral interna, x é constante em relação a y. Logo,
integraly=0^xxcos y,dy =xintegral0^xcos y,dy =xl[sin yr]0^x =xsin x

Passo 4

Substituindo na integral externa, fica
integral0^pixsin x,dx
Para resolver, usamos integração por partes com
u = x, dv = sin x,dx,
de onde
du = dx, v = -cos x
Assim,
integral0^pixsin x,dx =l[-xcos xr]0^pi +integral0^picos x,dx

Passo 5

Calculando cada termo:
l[-xcos xr]0^pi =-picospi-0cdotcos0 =-pi(-1) =pi,
integral0^picos x,dx =l[sin xr]0^pi =0-0 =0
Somando, a integral total é pi+0=pi.

Resposta

pi

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