A uma temperatura inferior a 0^circ C, sabe-se que, para elevar a temperatura de 1 g de água no estado sólido em 1^circ C é necessário 0.5 cal . Ao atingir a temperatura de 0^circ C, as calorias fornecidas não mais irão alterar a temperatura da água em estado sólido, e sim o seu estado físico, sendo necessárias 80 calorias para que a água passe do estado sólido para o líquido. Já no estado líquido, é necessária 1 cal para elevar a temperatura da água em 1^circ C.
Considere que em um experimento, 1 g de água, inicialmente a -40^circ C, é aquecida até a temperatura de t^circ C, e denote por Q(t) a menor quantidade de calor necessária para essa mudança de temperatura. Assim, por exemplo, Q(-39)=0.5, e Q(t) varia continuamente com t in[-40,-39].
a) Determine a expressão da função Q(t).
b) Esboce o gráfico de Q(t) no intervalo [-40,20].
c) Decida sobre a existência do limite lim t 0 Q(t), justificando a sua resposta.

Passo 1

O problema envolve calorimetria com mudança de fase. Temos 1 g de água:
  • no estado sólido (t< 0) o calor específico é cs=0,5 cal/(g cdotcircC),
  • na fusão (em t =0) a entalpia de fusão é L=80 cal/g,
  • no estado líquido (t> 0) o calor específico é cell=1 cal/(g cdotcircC).
    Queremos Q(t), o calor mínimo para aquecer de -40,^circC até t,^circC, e depois estudar seu gráfico e o limite em tto0.

Passo 2

Para -40<= t<=0 não há mudança de fase, só aquecimento do gelo de -40 até t.
Q(t)=cscdot1cdotl(t-(-40)r) =0,5,(t+40)

Passo 3

Para 0<t<=20 somam-se três etapas:
1. aquecer o gelo de -40 até 0: 0,5cdot40=20 cal,
2. fundir todo o gelo: L=80 cal,
3. aquecer a água líquida de 0 até t: 1cdot t cal.
Logo
Q(t)=20+80+t=100+t

Passo 4

Esboço de Q(t) em [-40,20]:
  • de -40 a 0: reta de inclinação 0,5 ligando (-40,0) a (0,20),
  • em t=0 há salto de Q(0^-)=20 para Q(0^+)=100,
  • de 0 a 20: reta de inclinação 1 ligando (0+,100) a (20,120).

Passo 5

O limite lateral à esquerda é
limtto0^-Q(t)=0,5,(0+40)=20,
e à direita
limtto0^+Q(t)=100+0=100
Como são diferentes, limtto0Q(t) não existe.

Resposta

a)
Q(t)= 0,5,(t+40),&-40<= t<=0, 100+t, &0< t<=20
b) Gráfico piecewise: reta de inclinação 0,5 de (-40,0) a (0,20), salto em t=0 de 20 para 100, reta de inclinação 1 de (0+,100) a (20,120).
c) O limite limtto0Q(t) não existe, pois as duas componentes laterais são 20 e 100.

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