A uma temperatura inferior a , sabe-se que, para elevar a temperatura de 1 g de água no estado sólido em é necessário 0.5 cal . Ao atingir a temperatura de , as calorias fornecidas não mais irão alterar a temperatura da água em estado sólido, e sim o seu estado físico, sendo necessárias 80 calorias para que a água passe do estado sólido para o líquido. Já no estado líquido, é necessária 1 cal para elevar a temperatura da água em .
Considere que em um experimento, 1 g de água, inicialmente a , é aquecida até a temperatura de , e denote por a menor quantidade de calor necessária para essa mudança de temperatura. Assim, por exemplo, , e varia continuamente .
a) Determine a expressão da função .
b) Esboce o gráfico de no intervalo .
c) Decida sobre a existência do limite , justificando a sua resposta.
Passo 1
O problema envolve calorimetria com mudança de fase. Temos g de água:
no estado sólido (t<) o calor específico é cal/(gC),
na fusão (em t) a entalpia de fusão é cal/g,
no estado líquido (t>) o calor específico é cal/(gC).
Queremos , o calor mínimo para aquecer de até , e depois estudar seu gráfico e o limite em .
Passo 2
Para não há mudança de fase, só aquecimento do gelo de até .
Passo 3
Para somam-se três etapas: . aquecer o gelo de até : cal, . fundir todo o gelo: cal, . aquecer a água líquida de até : cal.
Logo
Passo 4
Esboço de em :
de a : reta de inclinação ligando a ,
em há salto de para ,
de a : reta de inclinação ligando a .
Passo 5
O limite lateral à esquerda é
e à direita
Como são diferentes, não existe.
Resposta
a)
b) Gráfico piecewise: reta de inclinação 0,5 de (-40,0) a (0,20), salto em t=0 de 20 para 100, reta de inclinação 1 de (0+,100) a (20,120).
c) O limite limtto0Q(t) não existe, pois as duas componentes laterais são 20 e 100.