Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
rn=(1+1n)^-n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
rn = l(1+tfrac1nr)^-n
e, caso ela converja, calcular seu limite. O conteúdo envolve limites de sequências e o uso de logaritmo para simplificar potências.

Passo 2

Como rn>0 para todo n, definimos
ln rn = -,nln!l(1+tfrac1nr)
e focamos em calcular limntoinftyln rn, pois depois podemos reverter a exponenciação.

Passo 3

Reescrevemos
-,nln!l(1+tfrac1nr) =-ln!l(1+tfrac1nr)tfrac1n
Como vale o limite fundamental
limxto0ln(1+x)x=1,
basta tomar x=tfrac1nto0, o que dá
limntoinftyln rn = -1

Passo 4

Aplicando a função exponencial, obtemos
limntoinftyrn =expl(limntoinftyln rnr) =exp(-1) =1e
Logo, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyrn = 1e

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