Calcule as integrais duplas
Passo 1
O enunciado pede para calcular uma integral dupla envolvendo a função
sobre a região dada pelos limites
e
. O conteúdo aqui é aplicação do teorema de Fubini e troca de ordem de integração para facilitar o cálculo.
Vamos primeiro desenhar mentalmente a região de integração : A região
é {,(x,y): 0\le y\le1;e;y\le x\le1}}. Se plotarmos no plano
, para cada fixo
entre 0 e 1,
varia de
até
.
Vamos primeiro desenhar mentalmente a região de integração
Passo 2
Pela regra de Fubini, podemos trocar a ordem de integração. Observando
, vemos que é equivalente a:
x varia de 0 até 1
y varia de 0 até x
Então a integral original
x varia de 0 até 1
y varia de 0 até x
Então a integral original
Passo 3
Agora calculamos a integral interna em
:
Passo 4
Substituindo de volta na integral externa: