Calcule as integrais duplas
integral0^1 integraly^1 e^y / x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular uma integral dupla envolvendo a função f(x,y)=e^y/x sobre a região dada pelos limites 0<= y<=1 e y<= x<=1. O conteúdo aqui é aplicação do teorema de Fubini e troca de ordem de integração para facilitar o cálculo.
Vamos primeiro desenhar mentalmente a região de integração D: A região D é {,(x,y): 0\le y\le1;e;y\le x\le1}}. Se plotarmos no plano (x,y), para cada fixo y entre 0 e 1, x varia de x=y até x=1.

Passo 2

Pela regra de Fubini, podemos trocar a ordem de integração. Observando D, vemos que é equivalente a:
x varia de 0 até 1
y varia de 0 até x
Então a integral original
integraly=0^1integralx=y^1e^y/x,dx,dy fica
integralx=0^1integraly=0^xe^y/x,dy,dx

Passo 3

Agora calculamos a integral interna em y:
integraly=0^xe^y/x,dy Fazendo a mudança de variável u=y/x, temos dy=x,du e quando y=0 então u=0, quando y=x então u=1. Portanto:
integral0^xe^y/x,dy = integralu=0^1e^u,x,du = xintegral0^1e^u,du = xl(e-1r)

Passo 4

Substituindo de volta na integral externa:
integral0^1xl(e-1r),dx = (e-1)integral0^1x,dx = (e-1)[x^22]0^1 = e-12

Resposta

e-12

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